2021高中数学北师大版选修1-1学案：《充分必要条件的综合应用》.docx

第3课时　充分必要条件的综合应用

1.能够分清充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的关系.
2.利用充分必要条件的学问解决与集合、函数、三角函数、平面对量、数列、不等式、立体几何等问题.

上一节课我们共同学习了充分条件、必要条件和充要条件的基本概念,并能简洁地进行论证,充分必要条件是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列、平面对量等学问的综合交汇点,地位重要,本节课我们将共同探究充分必要条件的综合应用,我们先思考并回答下面几个问题.

问题1: 充分条件与必要条件的定义:
(1)若p⇒q,则p是q的　　　　条件; 
(2)若q⇒p,则p是q的　　　　条件; 
(3)若p⇒q且q⇒p,则p是q的　　　　条件; 
(4)若p⇒q且q⇒/ p,则p是q的　　　　　　条件; 
(5)若p⇒/ q且q⇒p,则p是q的　　　　　　条件; 
(6)若p⇒/ q且q⇒/ p,则p是q的　　　　　　　　条件. 
问题2: 充分必要条件与集合间的关系
记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:
若A⊆B,则p是q的　　　　条件; 
若A⫋B,则p是q的　　　　　　条件; 
若B⊆A,则p是q的　　　　条件; 
若B⫋A,则p是q的　　　　　　条件; 
若A=B,则p是q的　　　　条件; 
若A⊈B,且A⊉B,则p是q的　　　　　　条件. 
问题3: 四种命题间的充分必要关系:
把p与q分别记作命题的条件与结论,则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下:
(1)假如原命题真,逆命题假,那么p是q的　　　　　　条件; 
(2)假如原命题假,逆命题真,那么p是q的　　　　　　条件; 
(3)假如原命题与逆命题都真,那么p是q的　　　　条件; 
(4)假如原命题与逆命题都假,那么p是q的　　　　　　　条件. 

1.不等式2x2+x-3<0成立的一个充分条件是(　　).
A.{x|x>3或x<-2}　　　 B.{x|-2<x<3}
C.{x|-12<x<3} D.{x|0<x<1}
2.已知a、b∈R,则“a>b”是“a3>b3”的(　　 ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tan x=1”的　　　　　 　条件.(填“充分不必要”“ 必要不充分”或“充分必要”) 
4.已知集合A={y|y=x2-32x+1, x∈[34,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.

充分必要条件的判定
已知数列{an},“对任意的n∈N+,点P(n,an)都在直线y=2x+1上”是“数列{an}为等差数列”的(　　 ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

充要条件的探求
已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m).
(1)求点A、B、C能构成三角形的充要条件;
(2)求∠A为直角的充要条件.

充要条件的证明
设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.

设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则“|q|=2”是“S6=7S2”的(　　 ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

已知关于x的一元二次方程(m∈Z),
mx2-4x+4=0, 　　　　　　　　①
x2-4mx+4m2-4m-5=0,　　　 ②
求方程①和②的根都是整数的充要条件.

设p是不为0和1的实数,Sn=pn+q(n∈N+)是数列an的前n项和.
求证:数列an是等比数列的充要条件是q=-1.

1. “α=π3”是“cos α=12”的(　　 ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知函数y=f(x)的定义域为D,且D关于坐标原点对称,则“f(0)=0”是“y=f(x)为奇函数”的(　　 ).
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知条件p:函数g(x)=logm(x-1)为减函数,条件q:关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有解,则p是q的　　　条件.(填“充分不必要”“ 必要不充分”或“充分必要”) 
4.求一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分必要条件.

　　(2021年·天津卷)设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的(　　).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
　　考题变式(我来改编):

第3课时　充分必要条件的综合应用
学问体系梳理
问题1:(1)充分　(2)必要　(3)充要　(4)充分不必要　(5)必要不充分　(6)既不充分也不必要
问题2:充分　充分不必要　必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
问题3:(1)充分不必要　(2)必要不充分　(3)充要　(4)既不充分也不必要
基础学习沟通
1.D　解不等式2x2+x-3<0得-32<x<1,∴集合{x|-32<x<1}的一个子集就是不等式2x2+x-3<0成立的一个充分条件,故选D.
2.C　由于y=x3是奇函数且为递增函数,所以由a3>b3得a>b,所以“a>b”是“a3>b3”的充要条件,选C.
3.充分不必要　由tan x=1得x=kπ+π4(k∈Z),所以“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tan x=1”的充分不必要条件.
4.解:y=x2-32x+1=(x-34)2+716,
∵x∈[34,2],∴716≤y≤2,
∴A={y|716≤y≤2},
由x+m2≥1得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2},
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A⊆B,
∴1-m2≤716,解得m≥34或m≤-34,
故实数m的取值范围是(-∞,-34]∪[34,+∞).
重点难点探究
探究一:【解析】由于Pn(n,an)在直线y=2x+1上,
所以an=2n+1(n∈N+),
当n≥2时,an-1=2(n-1)+1=2n-1,
于是an-an-1=2(常数).
又a1=3,所以数列an是首项为3,公差为2的等差数列.
反过来,令an=n(n∈N+),则an为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上.
【答案】A
【小结】在条件和结论的相互推理过程中,肯定要留意大前提是什么.
　　探究二:【解析】(1)由于OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),
所以AB=(3,1),AC=(2-m,1-m).
点A、B、C能构成三角形⇔A、B、C三点不共线⇔2-m3≠1-m1,即m≠12.所以点A、B、C能构成三角形的充要条件是“m≠12”.
(2)∠A为直角的充要条件是AB.AC=0,
　　所以3(2-m)+(1-m)=0,解得m=74.
【小结】查找命题的充分必要条件在推导过程中每一步必需是等价可逆的,这样才能确保所得到的结论是原命题的充要条件.
　　探究三:【解析】充分性:由于∠A=90°,所以a2=b2+c2.
于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0,
所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,
该方程有两根为x1=-(a+c),x2=-(a-c).
同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为
x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(a+c)][x+(c-a)]=0,也有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以发觉x1=x3,所以方程有公共根.
必要性:设x0是方程的公共根,则x02+2ax0+b2=0x02+2cx0-b2=0,①,②
由①+②得x0=-(a+c),代入①中并整理可得a2=b2+c2.
所以∠A=90°.证明完毕.
思维拓展应用
应用一:A　若q=1,则S6=7S2明显不成立.由S6=7S2得a1(1-q6)1-q=7×a1(1-q2)1-q,即1-q6=7(1-q2),所以q6-7q2+6=0.若|q|=2,则q2=2,满足q6-7q2+6=0.当q=-1时,满足q6-7q2+6=0,但|q| ≠2,所以“|q|=2”是“S6=7S2”的充分而不必要条件,选A.
　　应用二:方程①有实数根的充要条件是Δ=16-4×4×m≥0且m≠0,解得m≤1,且m≠0,方程②有实数根的充要条件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,解得m≥-54.
所以-54≤m<0且0<m≤1,而m∈Z,故m=-1或m=1.
当m=-1时,方程①为x2+4x-4=0,无整数根;
当m=1时,方程①为x2-4x+4=0,方程②为x2-4x-5=0,①和②均有整数根.
从而,①和②均有整数根⇒m=1.
反之,m=1,方程①为x2-4x+4=0,方程②为x2-4x-5=0,①和②均有整数根,
所以①和②均有整数根的充要条件是m=1.
　　应用三:先证充分性:
当q=-1时,Sn=pn-1,S1=p-1;
当n≥2,n∈N+时,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn-1,
则an-1=(p-1)pn-2,故anan-1=p,
所以an是等比数列.
再证必要性:
依题意易知a1=S1=p+q,
an=(p-1)pn-1(n≥2,n∈N+).
　　明显,当n≥2时,an是等比数列,其公比为p.
　　∴a2=pa1,
　　即p2-p=p2+pq,得q=-1.
证明完毕.
基础智能检测
1.B　由cos α=12,得α=π3+2kπ或α=-π3+2kπ,k∈Z,所以“α=π3”是“cos α=12”的充分不必要条件,选B.
2.D　若f(x)=x2,则满足f(0)=0,但f(x)是偶函数;若f(x)=1x,则函数f(x)是奇函数,但f(0)没有意义,故选D.
3.充分不必要　函数g(x)=logm(x-1)为减函数,则有0<m<1,即p:0<m<1.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有解,则判别式Δ=4-4m≥0,解得m≤1,即q:m≤1.所以p是q的充分不必要条件.
4.解:若方程有一个正根和一个负根,
则1a<0,得a<0,
故充分必要条件是a<0.
全新视角拓展
A　(a-b)a2<0⇒a-b<0⇒a<b;但当a=0,b=1时,(a-b)a2=0,即a<b⇒/ (a-b)a2<0,故“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件.