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第7课时 简洁线性规划的应用
1.了解线性规划的实际意义,能把实际问题转化成线性规划问题.
2.把握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简洁的实际问题.
重点:用线性规划解决实际问题.
难点:从实际问题中构造平面区域和目标函数.
上一课时我们共同学习了简洁线性规划的基本概念,了解了图解法的步骤等,线性规划是一种重要的数学工具,是函数、不等式、解析几何等学问的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究线性规划的综合应用.
问题1:用 线性规划 的方法解决实际问题中的最值问题是线性规划的实际应用.
问题2:线性规划常见的具体问题
(1)物资调配问题;(2)产品支配问题;(3)下料问题;(4)利润问题;(5)饲料、养分等问题.
问题3:解线性规划应用题的步骤:
(1)列表转化为线性规划问题;(2)设出相关变量,列出线性约束条件对应的不等式(组),写出 目标函数 ;(3)正确画出可行域,求出目标函数的最值及相应的变量值;(4)写出实际答案.
问题4:线性规划的整数解问题:
线性规划实际应用中经常遇到的实际问题是一些整数解问题,这要求在解题时取值应当找到符合条件的整数点,即 整点 ,不是整点应当找出 最优解 旁边的整点.
艾尔多斯—莫迪尔不等式
设P为△ABC内部或边界上一点,P到三边距离分别为PD,PE,PF,则PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF),当且仅当△ABC为正三角形,且P为三角形中心时上式取等号.
这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式.
1.某班方案用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大小彩球装饰联欢晚会的会场,依据需要,大球数不少于10个,小球数不少于20个,请你给出几种不同的购买方案?
【解析】设可购买大球x个,小球y个.
依题意有
其整数解为…,都符合题目要求(满足2x+y-100<0即可).
2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3000 元、2000 元.甲、乙产品都需要在 A、B 两种设备上加工,在每台 A、B 设备上加工 1 件甲产品所需工时分别为1 h、2 h,加工 1 件乙产品所需工时分别为 2 h、1 h,A、B 两种设备每月有效使用工时数分别为 400 h 和 500 h.如何支配生产可使收入最大?
【解析】设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收入为z千元,目标函数为z=3x+2y,需要满足的条件是
作直线z=3x+2y,如图.
当经过点A(200,100)时取得最大值80万元.即当生产甲产品200件、乙产品100件,每月收入为80万元.
3.某企业生产A、B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表:
产品品种
劳动力(个)
煤(吨)
电(千瓦)
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产A产品每吨的利润是7万元,生产B产品每吨的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业生产A、B两种产品各多少吨,才能获得最大利润?
【解析】设生产A、B两种产品各x、y吨,利润为z万元,则z=7x+12y,且满足以下条件:
作出可行域如图阴影所示.
当直线7x+12y=0向右上方平行移动时,经过M(20,24)时,z取最大值.
∴该企业生产A、B两种产品分别为20吨和24吨时,才能获得最大利润.
4.某养分师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的养分中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.假如一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的养分要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
【解析】设为该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐,共花费z元,则z=2.5x+4y,且满足以下条件:
即
作直线l:2.5x+4y=0,平移直线l至l0,当l0经过C点时,可使z达到最小值.
由 解得即C(4,3),此时,z=2.5×4+4×3=22.
答:午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位,花费最少,且为22元.
下料问题
某车间有一批长250 cm的坯料,现因产品需要,要将它截成长为130 cm和110 cm两种不同木料,生产任务规定:长130 cm木料100根,长110 cm木料150根,问如何开料,使总的耗坯数最少?
【方法指导】这是下料问题.
【解析】有两种截料方法.
130 cm木料
110 cm木料
余料
第一种方法
1
1
10
其次种方法
0
2
30
需要量
100
150
设第一种方法截x根,其次种方法截y根,总的耗坯数为z,
则 z=x+y.
画出可行域如图所示,由图可知在点(100,25)处取得最小值.
答:用100根截成130 cm木料和110 cm木料各一根,另用25根截成两根110 cm木料.
【小结】本题是一道用线性规划求解的实际应用问题,留意是求目标函数的最优整数解.
物资调配问题
某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资的任务.该公司有8辆载重6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天来回的次数为A型卡车4次,B型卡车3次;每辆卡车每天来回的成本费为A型卡车320元,B型卡车504元.请为公司支配一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?
【方法指导】这是物资支配问题.
【解析】设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆.列表分析数据.
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知,x,y满足的线性条件为:
且z=320x+504y.
作出线性区域,如图所示,可知当直线z=320x+504y过A(7.5,0)时,z最小,但A(7.5,0)不是整点,连续向上平移直线z=320x+504y可知,(5,2)是最优解.这时zmin=320×5+504×2=2608,即用5辆A型车,2辆B型车,成本费最低.
【小结】(1)解线性规划应用题的一般步骤:①设出未知数;②列出约束条件(要留意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一);③建立目标函数;④求最优解.
(2)对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时,变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.
产品支配问题
预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,并期望桌椅的总数尽可能多,但椅子数不能少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍.问:桌、椅各买多少才合适?
【方法指导】首先应用字母设出相应量,然后确定目标函数及线性约束条件,画出可行域,最终通过平移目标函数求得最终答案.
【解析】设桌、椅分别买x、y张,
由题意得,
且z=x+y.
画出可行域如图所示,
由
解得
∴点A的坐标为(,).
由解得
∴点B的坐标为(25,).以上不等式所表示的区域即以A(,),B(25,),O(0,0)为顶点的△AOB及其内部.
对△AOB内的点P(x,y),由x+y=z,有y=-x+z,这是斜率为-1,y轴上截距为z的平行直线系.
只有点P与B重合,即取x=25,y=时,z取最大值.
∵y∈N,∴y=37,
故买桌子25张,椅子37张时,是最优选择.
【小结】要留意结合实际问题,确定未知数x,y等是否有限制,如探究三中必需x≥0,y≥0且x,y∈N.
要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
其次种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少?
【解析】设需截第一种钢板x张,其次种钢板y张,则
且x,y都是整数.
求目标函数z=x+y取得最小值时的x,y的值.
如图,当x=3,y=9或x=4,y=8时,z取得最小值.
∴需截第一种钢板3张,其次种钢板9张或第一种钢板4张,其次种钢板8张时,可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少.
有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表.
方式效果种类
轮船运输量/t
飞机运输量/t
粮食
300
150
石油
250
100
现在要在一天内运输至少2000 t粮食和1500 t石油,需至少支配多少艘轮船和多少架飞机?
【解析】设需支配x艘轮船和y架飞机,则
即
目标函数为z=x+y.
作出可行域,如图所示.
作出在一组平行直线x+y=t(t为参数)中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线,此直线经过直线6x+3y-40=0和y=0的交点A(,0),直线方程为x+y=.
由于不是整数,而最优解(x,y)中x,y必需都是整数,所以可行域内点(,0)不是最优解.经过可行域内的整点(横、纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是(7,0),即为最优解,则至少要支配7艘轮船和0架飞机.
投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大?
【解析】设生产A产品x百吨,生产B产品y百吨,利润为S百万元,
则约束条件为
目标函数为S=3x+2y.
作出可行域(如图),
将目标函数变形为y=-x+,它表示斜率为-,在y轴上截距为的直线,平移直线y=-x+,当它经过直线2x+y=9与2x+3y=14的交点(,)时,最大,也即S最大,此时,S=3×+2×=14.75.
因此,生产A产品325吨,B产品250吨,利润最大,且为1475万元.
1.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用为400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用为300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多运一次,则该厂所花的最少运输费用为( ).
A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元
【解析】设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,运输费用z元,依据题意,得线性约束条件:
线性目标函数z=400x+300y,画出可行域如图所示,解得当x=4,y=2时,zmin=2200.
【答案】B
2.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的方案中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克,通过合理支配生产方案,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ).
A.1800元 B.2400元 C.2800元 D.3100元
【解析】设该公司每天生产甲产品x桶,乙产品y桶,
则
利润函数z=300x+400y,
如图,在的交点(4,4)处取得最大值.
zmax=300×4+400×4=2800元.
【答案】C
3.某试验室需购某处化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格是120元.在满足需要的条件下,最少需花费 元.
【解析】设需要35千克的x袋,24千克的y袋,则总的花费为z元,则
求z=140x+120y的最小值.
由图解法求出zmin=500,此时,x=1,y=3.
【答案】500
4.要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格,两种钢管可同时截得三种规格的钢管的根数如下表所示:
规格类型
钢管类型
A规格
B规格
C规格
甲种钢管
2
1
4
乙种钢管
2
3
1
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根,问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管,且使所用钢管根数最少?
【解析】设需截甲种钢管x根,乙种钢管y根,则
作出可行域(如图):
目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t(t为参数)中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线,此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点A(,),直线方程为x+y=.由于和都不是整数,所以可行域内的点(,)不是最优解,经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4,4),它是最优解.
答:要截得所需三种规格的钢管,且使所截两种钢管的根数最少的方法是截甲种钢管、乙种钢管各4根.
1.(2021年·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( ).
A.2 B.1 C.- D.-
【解析】不等式组所表示的线性区域如图所示,易知当点M落在点A处时,OM的斜率最小.由可知点A(3,-1),故OM的斜率最小值为-.
【答案】C
2.(2021年·广西卷)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是 .
【解析】依据不等式组画出可行域,又直线y=a(x+1)过定点(-1,0),a表示经过(-1,0)和可行域一点直线的斜率,所以当取点(0,4)时,amax=4;当取点(1,1)时,amin=.
【答案】[,4]
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