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第4课时 圆和圆的位置关系
1.理解圆与圆的位置的种类.
2.利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长(圆心距).
3.会用连心线长推断两圆的位置关系.
重点:能依据给定圆的方程,推断圆与圆的位置关系.
难点:用坐标法推断圆与圆的位置关系.
古时候,人们不懂得月食发生的科学道理,像可怕日食一样,对月食也心怀恐惊.外国有人传奇,16世纪初,哥伦布航海到了南美洲的牙买加,与当地的土著人发生了冲突.哥伦布和他的水手被困在一个墙角,断粮断水,状况格外危急.懂点天文学问的哥伦布知道这天晚上要发生月全食,就向土著人大喊,“再不拿食物来,就不给你们月光!”到了晚上,哥伦布的话应验了,果真没有了月光.土著人见状诚惶诚恐,赶快和哥伦布化干戈为玉帛.你能否从月食过程归纳出圆与圆有哪几种位置关系呢?
问题1:圆与圆的位置关系可分为五种: 相离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内含 .
推断圆与圆的位置关系常用方法:
(1)几何法:设两圆圆心分别为O1、O2,半径为r1、r2 (r1≠r2),则|O1O2|>r1+r2⇔ 相离 ;|O1O2|=r1+r2⇔ 外切 ;|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2⇔ 相交 ;|O1O2|=|r1-r2|⇔ 内切 ;0≤|O1O2|<|r1-r2|⇔ 内含 .
(2)代数法:设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立方程组,若方程组有两组不同的实数解,则两圆 相交 ;若方程组有一组实数解,则两圆 相切 ;若方程组无实数解,则两圆 相离或内含 .代数法无法推断具体是哪种,因此一般不用.
问题2:如何推断两个圆公切线的条数?
(1)当两个圆外离时,有四条公切线: 两 条外公切线, 两 条内公切线.
(2)当两个圆外切时,有三条公切线: 两 条外公切线, 一 条内公切线.
(3)当两个圆相交时,有 两 条外公切线.
(4)当两个圆内切时,有 一 条外公切线.
(5)当两个圆内含时,无公切线..
问题3:两个圆相交时,如何求相交弦的方程?
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立得方程组
两个圆的方程相减得(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0,即为两个圆相交弦所在的直线方程.
问题4:如何求经过两个圆交点的圆系方程?
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,则经过两个圆交点的圆系方程可表示为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
对该方程要留意两点:一是该方程包含圆C1,不包含圆C2,具体应用时要留意检验C2是不是问题的解;二是若已知两个圆相切,则在圆系方程中的任何两个圆确定相切.
右图是同学们生疏的2008年中国北京奥运会会徽,你知道它的意义吗?
会徽设计将中国特色、北京特点和奥林匹克运动元素奇异结合.“中国印·舞动的北京”以印章作为主体表现形式,将中国传统的印章和书法等艺术形式与运动特征结合起来,经过艺术手法夸张变形,奇异地幻化成一个向前奔跑、舞动着迎接成功的运动人形.人的造型又形似现代“京”字的神韵,蕴含浓重的中国韵味.该作品传达和代表了四层信息和含义:印章(肖形印)——传统中国文化;红色——喜庆的中国;北京——中国首都,13亿中国人民对奥林匹克运动的奇怪憧憬;运动——刚柔并济,形象友善的运动人形,“更快,更高,更强”的奥林匹克精神.总之,北京奥运会体现了“绿色奥运、人文奥运、科技奥运”的基本理念.
会徽下方的五个圆环,就是我们即将要争辩的圆与圆的位置关系中的两种——相交、相离的圆.看图只是直观上的,我们更要通过坐标法、通过精确的计算来推断圆与圆的位置关系.
1.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是( ).
A.相离 B.外切 C.内切 D.相交
【解析】两圆化成标准形式为(x-1)2+y2=1和x2+(y+2)2=4,∴两圆圆心距|O1O2|==.
又1=|1-2|<<1+2=3,
∴两圆相交,选D.
【答案】D
2.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【解析】∵圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=4,∴|C1C2|=<2+2,∴两圆相交,∴公切线有2条,选B.
【答案】 B
3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0 (a > 0) 的公共弦的长为2,则a= .
【解析】 两圆公共弦所在直线方程为(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2-4)=0,即y=,圆心(0,0)到直线的距离为d=||==1,解得a=1或a=-1(舍去).
【答案】1
4.求与已知圆x2+y2-7y+10=0相交,公共弦平行于直线2x-3y-1=0,且过点(-2,3)、(1,4)的圆的方程.
【解析】 公共弦所在直线斜率为,已知圆的圆心为(0,),两圆圆心所在直线的方程为y-=-x,即3x+2y-7=0.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则
解得
所以所求圆的方程为x2+y2+2x-10y+21=0.
圆和圆的位置关系的判定
已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.当m为何值时,(1)圆C1与圆C2相外切;(2)圆C1与圆C2内含.
【方法指导】圆和圆的位置关系,可从交点个数也就是方程组解的个数来推断,也可从圆心距与两圆半径和、差的关系来推断.
【解析】 对于圆C1与圆C2的方程,经配方后C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.
(1)假如C1与C2外切,则有=3+2,即(m+1)2+(m+2)2=25,即m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.
(2)假如C1与C2内含,则有<3-2,即(m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0,得-2<m<-1.
所以,当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2外切;当-2<m<-1时,圆C1与圆C2内含.
【小结】圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来推断,有时得不到精确 的结论,通常还是从圆心距与两圆半径和、差的关系入手.
圆和圆的相交弦问题
已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
【方法指导】两圆的方程相减即可得公共弦所在的直线方程.求弦长通常有两种方法:(1)利用弦心距、半径来求解;(2)联立直线与圆的方程,通过解方程组得交点坐标,再用两点间距离公式求解.
【解析】设两圆交点为A、B,则A、B两点坐标是方程组 的解,两式相减得:3x-4y+6=0.由于A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
由于圆C1的圆心为(-1,3),半径为3,点C1到直线AB的距离为d==,所以|AB|=2=2=,所以两圆的公共弦长为.
【小结】求解圆与圆相交弦问题,可结合图形,利用弦心距、半弦之间的关系,充分利用圆的几何性质.
圆与圆相交的连心线问题
已知圆C1:x2+y2-4x-2y-5=0与圆C2:x2+y2-6x-y-9=0.
(1)求证:这两个圆相交.
(2)求这两个圆公共弦所在的直线方程.
(3)在平面上找一点P,过P点引这两个圆的切线并使它们的长都等于6.
【方法指导】利用这两个圆的连心线长与这两个圆的半径之和、半径之差的确定值之间的关系进行证明.求公共弦的方程使用圆系方程.
【解析】(1)圆C1:(x-2)2+(y-1)2=10,圆C2:(x-3)2+(y-)2=.
∵两圆圆心距|C1C2|==,且-<<+,∴圆C1与圆C2相交.
(2)联立两个圆的方程
相减即得这两个圆公共弦所在直线方程为2x-y+4=0.
(3)设P(x,y),依题意得
解方程组得点P(3,10)或(-,-).
【小结】解决直线与圆以及圆与圆的位置关系的相关问题时,确定要依据图形进行适当的联想,依据图形间的关系来寻求数量间的关系,从而找到解题思路,这恰好也是新课标所提倡的.本题有确定的综合性,将位置关系的几个问题综合在一起,求解时要留意数形结合.
已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
【解析】 两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为和.
(1)当两圆外切时,=+.解得m=25+10.
(2)当两圆内切时,因定圆的半径小于两圆圆心间距离,故有-=5.解得m=25-10.
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,得公共弦的长为
2× =2.
已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1),且两圆外切,求圆O2的方程,并求内公切线的方程.
【解析】 由于两圆圆心坐标分别为(0,-1)、 (2,1),由两圆外切,得
|O1O2|=r1+r2==2,所以r2=2-2,
所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4(-1)2.
两圆方程相减,得x+y+1-2=0,即为两圆内公切线的方程.
求过圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
【解析】(法一)两个圆的圆心分别为(-3,0),(0,-3),所以两个圆的连心线所在直线的方程为x+y+3=0.
由得圆心(,-).
利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长d=,两个已知圆的公共弦所在的直线方程为x-y+4=0,
所以圆半径r2=()2+[]2=.
故所求圆的方程为(x-)2+(y+)2=,即x2+y2-x+7y-32=0.
(法二)设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,
即x2+y2+x+y-=0.
故此圆的圆心为(,),它在直线x-y-4=0上,
所以--4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.
1.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a等于( ).
A.1 B.-1 C.±1 D.0
【答案】C
2.圆C1:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x+1)2+(y-3)2=9相交弦所在直线为l,则l被圆O:x2+y2=4截得弦长为( ).
A. B.4 C. D.
【解析】由圆C1与圆C2的方程相减得l:2x-3y+2=0,圆心O(0,0)到l的距离d=,圆O的半径R=2,所以截得弦长为2=2=.
【答案】D
3.点P在圆x2+y2-8x-4y+16=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y-11=0上,则|PQ|的最小值为 .
【解析】两圆分别化为标准方程为(x-4)2+(y-2)2=4,(x+2)2+(y+1)2=16,可知两个圆相离,故|PQ|的最小值等于圆心距减两个圆的半径,即3-6.
【答案】3-6
4.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短距离.
【解析】光线从点A经x轴反射到圆周C的距离即圆上一点P到点A关于x轴的对称点A'(-1,-1)的距离,其最小值为|A'C|-r=10-2=8.
(2021年·重庆卷)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ).
A.5-4 B.-1
C.6-2 D.
【解析】 如图,作圆C1关于x轴的对称圆C'1:(x-2)2+(y+3)2=1,则|PM|+|PN|=|PM|+|PN'|,由图可知当C2,M,P,N',C'1在同一条直线上时,|PM|+|PN|=|PM|+|PN'|取得最小值,即为|C'1 C2 |-1-3 = 5-4,故选A.
【答案】A
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