《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：3.7简单线性规划的应用-讲义.docx

第7课时简洁线性规划的应用1.了解线性规划的实际意义,能把实际问题转化成线性规划问题.2.把握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简洁的实际问题.重点:用线性规划解决实际问题.难点:从实际问题中构造平面区域和目标函数.上一课时我们共同学习了简洁线性规划的基本概念,了解了图解法的步骤等,线性规划是一种重要的数学工具,是函数、不等式、解析几何等学问的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究线性规划的综合应用.问题1:用线性规划的方法解决实际问题中的最值问题是线性规划的实际应用.问题2:线性规划常见的具体问题(1)物资调配问题;(2)产品支配问题;(3)下料问题;(4)利润问题;(5)饲料、养分等问题.问题3:解线性规划应用题的步骤:(1)列表转化为线性规划问题;(2)设出相关变量,列出线性约束条件对应的不等式(组),写出目标函数;(3)正确画出可行域,求出目标函数的最值及相应的变量值;(4)写出实际答案.问题4:线性规划的整数解问题:线性规划实际应用中经常遇到的实际问题是一些整数解问题,这要求在解题时取值应当找到符合条件的整数点,即整点,不是整点应当找出最优解旁边的整点. 艾尔多斯莫迪尔不等式设P为ABC内部或边界上一点,P到三边距离分别为PD,PE,PF,则PA+PB+PC2(PD+PE+PF),当且仅当ABC为正三角形,且P为三角形中心时上式取等号.这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式.1.某班方案用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大小彩球装饰联欢晚会的会场,依据需要,大球数不少于10个,小球数不少于20个,请你给出几种不同的购买方案?【解析】设可购买大球x个,小球y个.依题意有其整数解为,都符合题目要求(满足2x+y-1000即可).2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3000 元、2000 元.甲、乙产品都需要在 A、B 两种设备上加工,在每台 A、B 设备上加工 1 件甲产品所需工时分别为1 h、2 h,加工 1 件乙产品所需工时分别为 2 h、1 h,A、B 两种设备每月有效使用工时数分别为 400 h 和 500 h.如何支配生产可使收入最大?【解析】设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收入为z千元,目标函数为z=3x+2y,需要满足的条件是 作直线z=3x+2y,如图.当经过点A(200,100)时取得最大值80万元.即当生产甲产品200件、乙产品100件,每月收入为80万元.3.某企业生产A、B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表:产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产A产品每吨的利润是7万元,生产B产品每吨的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业生产A、B两种产品各多少吨,才能获得最大利润?【解析】设生产A、B两种产品各x、y吨,利润为z万元,则z=7x+12y,且满足以下条件:作出可行域如图阴影所示.当直线7x+12y=0向右上方平行移动时,经过M(20,24)时,z取最大值.该企业生产A、B两种产品分别为20吨和24吨时,才能获得最大利润.4.某养分师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的养分中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.假如一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的养分要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?【解析】设为该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐,共花费z元,则z=2.5x+4y,且满足以下条件:即作直线l:2.5x+4y=0,平移直线l至l0,当l0经过C点时,可使z达到最小值.由 解得即C(4,3),此时,z=2.54+43=22.答:午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位,花费最少,且为22元.下料问题某车间有一批长250 cm的坯料,现因产品需要,要将它截成长为130 cm和110 cm两种不同木料,生产任务规定:长130 cm木料100根,长110 cm木料150根,问如何开料,使总的耗坯数最少?【方法指导】这是下料问题.【解析】有两种截料方法.130 cm木料110 cm木料余料第一种方法1110其次种方法0230需要量100150设第一种方法截x根,其次种方法截y根,总的耗坯数为z,则 z=x+y.画出可行域如图所示,由图可知在点(100,25)处取得最小值.答:用100根截成130 cm木料和110 cm木料各一根,另用25根截成两根110 cm木料.【小结】本题是一道用线性规划求解的实际应用问题,留意是求目标函数的最优整数解.物资调配问题某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资的任务.该公司有8辆载重6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天来回的次数为A型卡车4次,B型卡车3次;每辆卡车每天来回的成本费为A型卡车320元,B型卡车504元.请为公司支配一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?【方法指导】这是物资支配问题.【解析】设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆.列表分析数据.A型车B型车限量车辆数xy10运物吨数24x30y180费用320x504yz由表可知,x,y满足的线性条件为:且z=320x+504y.作出线性区域,如图所示,可知当直线z=320x+504y过A(7.5,0)时,z最小,但A(7.5,0)不是整点,连续向上平移直线z=320x+504y可知,(5,2)是最优解.这时zmin=3205+5042=2608,即用5辆A型车,2辆B型车,成本费最低.【小结】(1)解线性规划应用题的一般步骤:设出未知数;列出约束条件(要留意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一);建立目标函数;求最优解.(2)对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时,变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.产品支配问题预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,并期望桌椅的总数尽可能多,但椅子数不能少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍.问:桌、椅各买多少才合适?【方法指导】首先应用字母设出相应量,然后确定目标函数及线性约束条件,画出可行域,最终通过平移目标函数求得最终答案.【解析】设桌、椅分别买x、y张,由题意得,且z=x+y.画出可行域如图所示,由解得点A的坐标为(,).由解得点B的坐标为(25,).以上不等式所表示的区域即以A(,),B(25,),O(0,0)为顶点的AOB及其内部.对AOB内的点P(x,y),由x+y=z,有y=-x+z,这是斜率为-1,y轴上截距为z的平行直线系.只有点P与B重合,即取x=25,y=时,z取最大值.yN,y=37,故买桌子25张,椅子37张时,是最优选择.【小结】要留意结合实际问题,确定未知数x,y等是否有限制,如探究三中必需x0,y0且x,yN.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211其次种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少?【解析】设需截第一种钢板x张,其次种钢板y张,则且x,y都是整数.求目标函数z=x+y取得最小值时的x,y的值.如图,当x=3,y=9或x=4,y=8时,z取得最小值.需截第一种钢板3张,其次种钢板9张或第一种钢板4张,其次种钢板8张时,可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少.有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表.方式效果种类轮船运输量/t飞机运输量/t粮食300150石油250100现在要在一天内运输至少2000 t粮食和1500 t石油,需至少支配多少艘轮船和多少架飞机?【解析】设需支配x艘轮船和y架飞机,则即目标函数为z=x+y.作出可行域,如图所示.作出在一组平行直线x+y=t(t为参数)中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线,此直线经过直线6x+3y-40=0和y=0的交点A(,0),直线方程为x+y=.由于不是整数,而最优解(x,y)中x,y必需都是整数,所以可行域内点(,0)不是最优解.经过可行域内的整点(横、纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是(7,0),即为最优解,则至少要支配7艘轮船和0架飞机.投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大?【解析】设生产A产品x百吨,生产B产品y百吨,利润为S百万元,则约束条件为目标函数为S=3x+2y.作出可行域(如图),将目标函数变形为y=-x+,它表示斜率为-,在y轴上截距为的直线,平移直线y=-x+,当它经过直线2x+y=9与2x+3y=14的交点(,)时,最大,也即S最大,此时,S=3+2=14.75.因此,生产A产品325吨,B产品250吨,利润最大,且为1475万元.1.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用为400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用为300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多运一次,则该厂所花的最少运输费用为().A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元【解析】设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,运输费用z元,依据题意,得线性约束条件:线性目标函数z=400x+300y,画出可行域如图所示,解得当x=4,y=2时,zmin=2200.【答案】B2.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的方案中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克,通过合理支配生产方案,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是().A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元【解析】设该公司每天生产甲产品x桶,乙产品y桶,则利润函数z=300x+400y,如图,在的交点(4,4)处取得最大值.zmax=3004+4004=2800元.【答案】C3.某试验室需购某处化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格是120元.在满足需要的条件下,最少需花费元.【解析】设需要35千克的x袋,24千克的y袋,则总的花费为z元,则求z=140x+120y的最小值.由图解法求出zmin=500,此时,x=1,y=3.【答案】5004.要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格,两种钢管可同时截得三种规格的钢管的根数如下表所示:规格类型钢管类型A规格B规格C规格甲种钢管214乙种钢管231今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根,问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管,且使所用钢管根数最少?【解析】设需截甲种钢管x根,乙种钢管y根,则作出可行域(如图):目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t(t为参数)中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线,此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点A(,),直线方程为x+y=.由于和都不是整数,所以可行域内的点(,)不是最优解,经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4,4),它是最优解.答:要截得所需三种规格的钢管,且使所截两种钢管的根数最少的方法是截甲种钢管、乙种钢管各4根.1.(2021年山东卷)在平面直角坐标系xOy 中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为().A.2B.1C.-D.-【解析】不等式组所表示的线性区域如图所示,易知当点M落在点A处时,OM的斜率最小.由可知点A(3,-1),故OM的斜率最小值为-.【答案】C2.(2021年广西卷)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.【解析】依据不等式组画出可行域,又直线y=a(x+1)过定点(-1,0),a表示经过(-1,0)和可行域一点直线的斜率,所以当取点(0,4)时,amax=4;当取点(1,1)时,amin=.【答案】,4