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第三章 概 率(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．给出下列三个命题，其中正确的有( )
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次毁灭正面对上，因此正面毁灭的概率是；
③随机大事发生的频率就是这个随机大事发生的概率．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观看正品件数和次品件数，下列大事是互斥大事的是( )
①恰好有1件次品和恰好有两件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少1件次品和全是正品．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
3．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A. B. C. D.
4．某班有50名同学，其中男、女各25名，若这个班的一个同学甲在街上遇到一位同班同学，假定每两名同学碰面的概率相等，那么甲遇到异性同学的概率大还是遇到同性同学的概率大( )
A．异性 B．同性
C．同样大 D．无法确定
5．在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0到之间的概率为( )
A. B. C. D.
6．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现接受随机模拟的方法估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估量，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
7．12本相同的书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必定大事是( )
A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书
8．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )
A. B. C. D.
9．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观看点的位置，则大事A＝{点落在x轴上}与大事B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )
A．P(A)>P(B) B．P(A)<P(B)
C．P(A)＝P(B) D．P(A)、P(B)大小不确定
10．如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AC＝BC，AB为圆O的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在△ABC内的概率是( )
A. B. C. D.
11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率是( )
A. B. C. D.
12．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知半径为a的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的确定值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
15．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
16．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．
18．(12分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
19．(12分)如右图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上任取一点B，求使△AOB的面积大于等于的概率．
20．(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩玩耍，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的全部状况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙商定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此玩耍是否公正，说明你的理由．
21．(12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
22．(12分)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．
(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；
(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．
第三章 概 率(B)
1．A [由频率和概率的定义及频率与概率的关系可知①②③都不正确．]
2．D 3.B
4．A [记“甲遇到同性同学”为大事A，“甲遇到异性同学”为大事B，则P(A)＝，P(B)＝，故P(A)<P(B)，即同学甲遇到异性同学的概率大．]
5．A [在区间[－，]，0<cos x<⇔x∈∪，其区间长度为，又已知区间的长度为π，由几何概型知P＝＝]
6．B [由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为＝＝0.25.]
7．D [由于只有2本英语书，从中任意抽取3本，其中至少有一本是语文书．]
8．B [可能构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，由于是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以接受古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41,42,43,45共4种；以5开头的：51,52,53,54共4种，所以P＝＝.]
9．C [横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．]
10．A [连接OC，设圆O的半径为R，记“所投点落在△ABC内”为大事A，则P(A)＝＝.]
11．B [本题中涉及两个变量的平方和，类似于两个变量的和或积的状况，可以用列表法，使x2＋y2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即＝.]
12．A [可求得同时落在奇数所在区域的状况有4×4＝16(种)，而总的状况有6×6＝36(种)，于是由古典概型概率公式，得P＝＝.]
13.
解析 由于球半径为a，则正方体的对角线长为2a，设正方体的边长为x，则2a＝x，∴x＝，由几何概型知，所求的概率P＝＝＝.
14.
解析 如图所示，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝＝.
15.
解析
记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为大事A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
16.
解析 由题意可知>，如图所示，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，因此＝＝>(PM，BN为其高线)，又＝，故>，故所求概率为(长度之比)．
17．解 a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本大事总数为N＝5×5＝25个．
函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.由于大事“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以大事“a2≥4b”的概率为P＝.
18．解 设A、B、C分别表示炸中第一、其次、第三军火库这三个大事．
则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1，
设D表示军火库爆炸这个大事，则有D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥大事，
∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
19．解 如下图所示，作OC⊥OA，C在半圆弧上，过OC中点D作OA的平行线交半圆弧于E、F，所以在上取一点B，推断S△AOB≥.
连结OE、OF，由于OD＝OC＝OF，OC⊥EF，所以∠DOF＝60°，所以∠EOF＝120°，所以l＝π·1＝π.所以P＝＝＝.
20．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的全部状况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同状况．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的状况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P1＝，同理乙胜的概率P2＝.由于P1＝P2，所以此玩耍公正．
21．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本大事为
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18个基本大事．由于每一个基本大事被抽取的机会均等，因此这些基本大事的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一大事，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
大事M由6个基本大事组成，因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一大事，则其对立大事表示“B1、C1全被选中”这一大事，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，大事由3个基本大事组成，所以P()＝＝，由对立大事的概率公式得：
P(N)＝1－P()＝1－＝.
22．解 由于实数对(a，b)的全部取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．
设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为大事A，“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为大事B.
(1)若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必需满足即满足条件的实数对(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝＝.故直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为.
(2)若直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点，则必需满足≤1，即b2≤a2＋1.
若a＝－2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值；
若a＝－1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；
若a＝1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值，
若a＝2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值．
∴满足条件的实数对(a，b)共有12种不同取值．
∴P(B)＝＝.
故直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为.
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