高中数学(北师大版)必修四教案：2.4-平面向量数量积的坐标表示-参考教案.docx

平面对量数量积的坐标表示
教学目标
1．正确理解把握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．
2．把握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去推断两个向量垂直．
3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．
重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．
难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的机敏运用．
教学过程设计
(一)同学复习思考，老师指导．
　　1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．
　　＝________ ＝________
　　2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)
　　＝________
　　3．向量的数量积满足那些运算律？
(二)老师叙述新课．
前面我们已经学过了两个向量的数量积，假如已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．
设两个非零向量为＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)． 为x轴上的单位向量， 为y轴上的单位向量，则＝x1＋y1， ＝x2＋y2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示：

(2)平面上两点间的距离公式：
　向量的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， =
(3)两向量的夹角公式
设＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)， ＝θ．

4．两向量垂直的充要条件的坐标表示
＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．
即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．
　　(三)同学练习，老师指导．
练习1：课本练习1．
已知a(－3，4)， (5，2)

练习2：课本练习2．
已知＝(2，3)， ＝(－2，4)， ＝(－1，－2)．
　　·＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋)·(－)＝－7．
　　·(＋)＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．
练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．
求证：△ABC是直角三角形．
证：∵ ＝(1，1)， ＝(－3，3)， ＝(－4，2)．
经检验， ·＝1×(－3)＋1×3＝0．
∴⊥，△ABC是直角三角形．
(四)师生共同争辩例题．
例1：已知向量＝(3，4)， ＝(2，－1)．
(1)求与的夹角θ，
(2)若＋x与－垂直，求实数x的值．
解：(1) ＝(3，4)， ＝(2，－1)．

　(2) ＋x与－垂直，
(＋x)·(－)＝0， ＋x＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)
－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．

例2：求证：三角形的三条高线交于一点．
证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．
　　∵⊥， ＝(－x1，y)， ＝(－x2，y1)．
　　(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．
　　即 x1x2＋yy1＝0．
　　又 ＝(－x2，y)， ＝(－x1，y1)．
　　·＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．
　　∴⊥，CP是AB边上的高．
　　故三角形的三条高线交于一点．

　　(五)作业．习题5．7 1，2，3，4，5．