《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：3.9基本不等式及其变形-练习.docx

1.已知x>0,则x++1的最小值为(　　).
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
【解析】x++1≥2+1=2+1=3.
【答案】B
2.下列函数中,最小值为4的是(　　).
A.y=x+ B.y=sin x+(0<x<π)
C.y=ex+4e-x D.y=log3x+4logx3
【解析】A,D可能为负数,B取不到最小值4,等号不成立,故选C.
【答案】C
3.函数f(x)=-x-的值域为　　　　. 
【解析】∵x>0时,f(x)=-(x+)≤-4;x<0时,f(x)=(-x)+(-)≥4,
∴函数f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).
【答案】(-∞,-4]∪[4,+∞)
4.若a、b、c是不全相等的正数,求证:lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c.
【解析】∵a、b、c都为正数且不全相等,
≥,≥,≥,
∴··>abc,
∴lg(··)>lg(abc),
∴lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c.

5.已知a>0,b>0,则++2的最小值是(　　).
A.2 B.2 C.4 D.5
【解析】+≥2,2+2≥4,当且仅当a=b,=,即a=b=1时有最小值4.选C.
【答案】C
6.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.4
【解析】由题意得a+b=x+y,cd=xy,则=≥=4,当且仅当x=y时取等号.
【答案】D
7.若实数a、b满足a+b=4,则2a+2b的最小值是　　　　. 
【解析】∵2a,2b都是正数,∴2a+2b≥2=2=8,当且仅当2a=2b时等号成立,由a+b=4及2a=2b得a=b=2,即当a=b=2时,2a+2b的最小值是8.
【答案】8
8.若正数x,y满足log3(x+y)=1,求lo(+)的最大值.
【解析】由log3(x+y)=1得x+y=3,+=+=+++3≥+2=,当且仅当x=,y=时等号成立,
所以lo(+)≤lo=-log3=1-4log32,即lo(+)的最大值为1-4log32.

9.正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 
【解析】a+b=(a+b)(+)=10+(+)≥10+2=16.
当且仅当=且+=1,即b=3a=12时取“=”.
∴-x2+4x+18-m≤16即x2-4x+m-2≥0对任意x恒成立.
∴Δ=16-4(m-2)≤0,∴m≥6.
【答案】[6,+∞)
10.已知a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
【解析】∵a,b,c∈R,∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
三式相加得,2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),　①
即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.　②
在①式两边同时加上a2+b2+c2得3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,即a2+b2+c2≥(a+b+c)2.　③
在②式两边同时加上2(ab+bc+ca)得
(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),
即(a+b+c)2≥ab+bc+ca.　④
∴由③④可得a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.