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三十四 机械振动
1．(2021·北京朝阳区期末)如图所示，一轻弹簧上端固定在天花板上，下端挂一个重为300 N的钩码，静止时弹簧伸长了3 cm.现将钩码竖直向下拉2 cm，然后无初速度释放，使钩码沿竖直方向振动，则钩码所受的最大回复力F及其振动的振幅A分别为( )
A．F＝200 N，A＝2 cm B．F＝200 N，A＝3 cm
C．F＝300 N，A＝3 cm D．F＝500 N，A＝5 cm
答案：A 解析：钩码静止时，是简谐运动的平衡位置，F＝kx＝mg，可求得k＝＝ N/m＝10 000 N/m，所以当钩码竖直向下拉2 cm时，振幅是A＝2 cm，当钩码在最大振幅位置时，回复力最大，F＝－kx＝－10 000×2×10－2 N＝－200 N，即回复力大小为F＝200 N，选项A正确，B、C、D错误．
2．(2021·上海单科)做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是( )
A．位移 B．速度
C．加速度 D．回复力
答案：B 解析：对于同一位置，位移x总相同，回复力F＝－kx，a＝＝－，也相同，而速度v经过同一位置时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反，故A、C、D错误，B正确．
3．(2021·江西八校联考)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝10sin cm，则下列关于质点运动的说法中正确的是( )
A．质点做简谐运动的振幅为5 cm
B．质点做简谐运动的周期为4 s
C．在t＝4 s时质点的速度最大
D．在t＝4 s时质点的位移最大
答案：C 解析：由x＝10sin cm可知，A＝10 cm.由ω＝＝ rad/s得T＝8 s．t＝4 s时，x＝0，说明质点在平衡位置，此时质点的速度最大，位移为0，所以只有C项正确．
4．如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量．当细线突然断开后，两物块都开头做简谐运动，在运动过程中( )
A．甲的振幅大于乙的振幅
B．甲的振幅小于乙的振幅
C．甲的最大速度小于乙的最大速度
D．甲的最大速度大于乙的最大速度
答案：C 解析：由题意知，在细线未断之前两个弹簧所受到的弹力是相等的，所以当细线断开后，甲、乙两个物体做简谐运动时的振幅是相等的，A、B错误；两物体在平衡位置时的速度最大，此时的动能等于弹簧刚释放时的弹性势能，所以甲、乙两个物体的最大动能是相等的，则质量大的速度小，所以C正确，D错误．
5．(2021·上海压轴卷)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．以向左为正，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知( )
甲 乙
A．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
B．t＝1.4 s时，振子的速度方向向右
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度渐渐增大
答案：D 解析：t＝1.4 s时，振子的速度方向向左，所以B错．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度大小相同，方向相反，所以C错．xt图象的斜率代表速度大小t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度渐渐增大，D对．
6．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子在O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.20 s时刻，振子的速度第一次变为－v；在t＝0.50 s时刻，振子的速度其次次变为－v.
(1)求弹簧振子振动的周期T.
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.00 s内通过的路程．
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置开头计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象．
答案：(1)1 s (2)200 cm (3)x＝12.5sin (2πt) cm 见解析图
解析：(1)画出弹簧振子简谐运动示意图如图所示，由对称性可得振子的周期为T＝0.50×2 s＝1 s
(2)若B、C之间的距离为25 cm，则振幅为
A＝×25 cm＝12.5 cm
振子在4.00 s内通过的路程
s＝4×4×12.5 cm＝200 cm
(3)依据x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π
得x＝12.5sin (2πt) cm
振动图象如图所示．
7.在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示．
(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？
(2)作出P的振动图象．
(3)若拉动纸带做匀加速直线运动，且振子振动周期与原来相同．由图丙中数据求纸带的加速度．
答案：(1)0.2 s (2)见解析图 (3)1.0 m/s2
解析：(1)由题图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，由v＝，可得t＝＝ s
所以T＝0.2 s.
(2)由题图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图象如图所示．
(3)当纸带做匀加速直线运动时，振子振动周期仍为0.2 s，由丙图可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2，
得a＝ m/s2＝1.0 m/s2.
8．如图所示，有一个摆长为l的单摆，现将摆球A拉离平衡位置一个很小的角度，然后由静止释放，A摆至平衡位置P时，恰与静止在P处的B球发生正碰，碰后A连续向右摇摆，B球以速度v沿光滑水平面对右运动，与右侧的墙壁碰撞后以原速率返回，当B球重新回到位置P时恰与A再次相遇，求位置P与墙壁间的距离d.
答案：(其中n＝1,2,3…)
解析：摆球A做简谐运动，当其与B球发生碰撞后速度转变，但是摇摆的周期不变．而B球做匀速直线运动，这样，再次相遇的条件为B球来回所需要的时间为单摆半周期的整数倍；2d/v＝n(T/2)(其中n＝1,2,3…)
由单摆周期公式T＝2π得d＝(其中n＝1,2,3…)．
9．(2021·安徽理综)如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块．压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开头释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态．重力加速度为g.
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面对下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
(3)求弹簧的最大伸长量．
答案：(1)L＋ (2)见解析
(3)＋
解析：(1)设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为ΔL，有
mgsin α－kΔL＝0
解得ΔL＝
此时弹簧的长度为L＋
(2)当物块的位移为x时，弹簧伸长量为x＋ΔL，物块所受合力为F合＝mgsin α－k(x＋ΔL)
联立以上各式可得F合＝－kx
可知物块做简谐运动
(3)物块做简谐运动的振幅为A＝＋
由对称性可知，最大伸长量为＋
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