1、专题五立体几何第1讲空间几何体与点、直线、平面之间的位置 关系1(仿2022山东，14)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF1，则四周体AEFB的体积V等于_解析连接BD交AC于点O，则OA为四周体AEFB的高，且OA，故SEFB11，所以VAEFB.答案2(仿2011辽宁，12)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析设AC的中点为M，AC4，OM2，VOABCD6228.答案83(仿2021广东，6)下列四个命题：假如平面平面，那么平面内肯定存在直线平行于平面，假如平面不垂直于平面，
2、那么平面内肯定不存在直线垂直于平面，假如平面平面，平面平面，l，那么l平面，假如平面平面，那么平面内全部直线都垂直于平面，其中错误的是_解析明显正确，依据面面垂直的判定，正确，对于命题，设m，n，在平面内取一点P不在l上，过P作直线a，b使am，bn，am，则a，al，同理有bl.又abP，a，b，l.故命题正确对于命题，设l，则l，且l.故在内存在直线不垂直于平面，即命题错误答案4(仿2021辽宁，10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心
3、O2为O1O的中点，又ADa，AOa，OO2，设球的半径为R，则R2AOa2a2a2.S球4R24a2a2.答案a25(仿2022浙江，10)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，ACEFG.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四周体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则关于四周体PAEF有以下四个结论：APPEF所在平面，AGPEF所在平面，EPAEF所在平面，PGAEF所在平面，其中正确的是_解析在折叠过程中，ABBE，ADDF保持不变AP面PEF.答案6(仿2021北京，14)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，B
4、CCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_解析将BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图连结A1Q即为CPPA1的最小值，过点Q作QDA1C1交延长线于D点，BQC1为等腰直角三角形，所以QD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.所以A1Q5.答案57(仿2021全国，6)已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC45，则棱锥SABC的体积为_解析如图所示，由题意知，在棱锥SABC中，SAC，SBC都是等腰直角三角形，其中AB2，SC4，SAACSBBC2.取SC的中点D，易证SC垂直于面ABD，因此棱锥SABC的体积为两个棱锥SABD和CABD的体积和，
5、所以棱锥SABC的体积VSCSADB4.答案8(仿2022重庆，9)如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_解析如图，过D作DGAF，垂足为G，连结GK，平面ABD平面ABC，DKAB，DK平面ABC，DKAF.又DGAF，DGDKD.AF平面DKG，AFGK.简洁得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点t的取值范围是.答案9(仿2022湖北，19)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，A
6、BAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱锥PABCD的体积(1)证明由于PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.由于ABAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)解由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECDcos 451，CECDsin 451.又由于ABCE1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形所以S四边形ABCDS矩形ABCESECDABAECEDE1211，又PA平面ABCD，PA1，所以V四棱锥PABCDS四边形ABCDPA1.10(仿2021辽宁，18)如图，在直四
7、棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点(1)证明：直线EE1平面FCC1；(2)求二面角BFC1C的余弦值(1)证明法一取A1B1的中点F1，连接FF1，C1F1，由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1，即为平面C1CFF1.连接A1D，F1C，由于A1F1綉D1C1綉CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C.而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.法二由于F为AB的中点，CD2，AB4，ABCD
8、，所以CD綉AF.因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC.又CC1DD1，FCCC1C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.(2)解法一取FC的中点H，由于FCBCFB，所以BHFC.又BHCC1，CC1FCC.所以BH平面FCC1.过H作HGC1F于G，连接BG.由于HGC1F，BH平面FCC1，所以C1F平面BHG.因此BGC1F，所以BGH为所求二面角的平面角在RtBHG中，BH，又FH1，且FCC1为等腰直角三角形，所以HG，BG，因此cosBGH，即所求二面角的余弦值为.法二过D作DRCD交AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)所以(0,2,0)，(，1,2)，(，3,0)由FBCBCDDF，所以DBFC.又CC1平面ABCD，所以为平面FCC1的一个法向量设平面BFC1的一个法向量为n(x，y，z)，则由得即取x1，得因此n，所以cos，n.故所求二面角的余弦值为.
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