2021高考数学(福建-理)一轮学案16-定积分及其简单的应用.docx

学案16　定积分及其简洁的应用
导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景精确     理解定积分的概念.2.理解定积分的简洁性质并会简洁应用.3.会说出定积分的几何意义，能依据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能娴熟运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．

自主梳理
1．定积分的几何意义：假如在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．
2．定积分的性质
(1)ʃkf(x)dx＝__________________ (k为常数)；
(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________；
(3)ʃf(x)dx＝_______________________________________.
3．微积分基本定理
一般地，假如f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做__________________，为了便利，我们常把F(b)－F(a)记成__________________，即ʃf(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．
4．定积分在几何中的应用
(1)当x∈[a，b]且f(x)>0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.
(2)当x∈[a，b]且f(x)<0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝__________________.
(3)当x∈[a，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________________.
(4)若f(x)是偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx；若f(x)是奇函数，则ʃf(x)dx＝0.
5．定积分在物理中的应用
(1)匀变速运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．
(2)变力做功公式
一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，假如物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b (a<b)(单位：m)，则力F所做的功W＝__________________________.
自我检测
1．计算定积分ʃ3xdx的值为 (　　)
A. B．75
C. D．25
2．定积分ʃ[－x]dx等于 (　　)
A. B.－1
C. D.
3．如右图所示，阴影部分的面积是 (　　)

A．2 B．2－
C. D.
4．(2010·湖南)ʃdx等于 (　　)
A．－2ln 2 B．2ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
5．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.
探究点一　求定积分的值
例1　计算下列定积分：
(1)；
(2)；
(3)ʃ(2sin x－3ex＋2)dx；
(4)ʃ|x2－1|dx.

变式迁移1　计算下列定积分：
(1)ʃ|sin x|dx；(2)ʃsin2xdx.

探究点二　求曲线围成的面积
例2　计算由抛物线y＝x2和y＝3－(x－1)2所围成的平面图形的面积S.

变式迁移2　计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．

探究点三　定积分在物理中的应用
例3　一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min内所行驶的路程．

变式迁移3　A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C点时速度达24 m/s，从C点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开头刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离；
(2)B、D间的距离；
(3)电车从A站到B站所需的时间．

函数思想的应用
例　(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．

【答题模板】
解　S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3.[2分]
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝ʃx2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.[4分]
所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．[6分]
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0时，得t＝0或t＝.[8分]
t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.[10分]
所以当t＝时，S最小，且最小值为.[12分]
【突破思维障碍】
本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的学问求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查同学学问的迁移力气和导数的应用意识．

1．定积分ʃf(x)dx的几何意义就是表示由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积；反过来，假如知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃdx＝π (半径为2的个圆的面积)，ʃdx＝2π.
2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简洁函数定积分的和或差．
3．计算一些简洁的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；其次步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F′(x)＝f(x)的F(x)；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列值等于1的积分是 (　　)
A．ʃxdx B．ʃ(x＋1)dx
C．ʃdx D．ʃ1dx
2．(2011·汕头模拟)设函数f(x)＝则ʃf(x)dx等于 (　　)
A. B.
C．6 D．17
3．已知f(x)为偶函数且ʃf(x)dx＝8，则ʃf(x)dx等于 (　　)
A．0 B．4 C．8 D．16
4．(2011·深圳模拟)曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为 (　　)
A．ʃ0(sin x－cos x)dx
B．2ʃ0(sin x－cos x)dx
C．ʃ0(cos x－sin x)dx
D．2ʃ0(cos x－sin x)dx
5．(2011·临渭区高三调研)函数f(x)＝ʃt(t－4)dt在[－1,5]上 (　　)
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若1 N的力使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力做的功为__________J.
7．ʃ(2xk＋1)dx＝2，则k＝________.
8．(2010·山东试验中学高三三诊)若f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，则ʃf(x)dx＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)计算以下定积分：
(1)ʃdx；　(2)ʃ2dx；
(3)ʃ0(sin x－sin 2x)dx；　(4)ʃ|3－2x|dx.

10．(12分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

11．(14分)求曲线y＝ex－1与直线x＝－ln 2，y＝e－1所围成的平面图形的面积．

答案 自主梳理
1．x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)　面积
2．(1)kʃf(x)dx　(2)ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx (3)ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a<c<b)　
3.微积分基本定理　F(x)|　4.(1)ʃf(x)dx　(2)－ʃf(x)dx (3)ʃ[f(x)－g(x)]dx　
5.(1)s＝ʃv(t)dt　(2)ʃF(x)dx
自我检测
1．A　2.A　3.C　4.D
5．±3

解析　由
得(x－k)2＝0，
即x＝k，
所以直线与曲线相切，如图所示，
当k>0时，S＝ʃ(x2＋k2－2kx)dx
＝ʃ(x－k)2dx＝(x－k)3|＝0－(－k)3＝，
由题意知＝9，∴k＝3.
由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±3.
课堂活动区
例1　解题导引　(1)与确定值有关的函数均可化为分段函数．
①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，依据原函数分段的状况分即可，无需分得过细．
(2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx.
解　(1)ʃdx
＝ʃxdx＋ʃdx＋ʃdx
＝x2|＋ln x|－|
＝(e2－1)＋(ln e－ln 1)－
＝e2－＋.
(2)ʃ0(sin x－2cos x)dx
＝ʃ0sin xdx－2ʃ0cos xdx
＝(－cos x)|0－2sin x|0
＝－cos －(－cos 0)－2
＝－1.
(3)ʃ(2sin x－3ex＋2)dx
＝2ʃsin xdx－3ʃexdx＋ʃ2dx
＝2(－cos x)|－3ex|＋2x|
＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(eπ－e0)＋2(π－0)
＝7－3eπ＋2π.
(4)∵0≤x≤2，
于是|x2－1|＝
∴ʃ|x2－1|dx＝ʃ(1－x2)dx＋ʃ(x2－1)dx
＝|＋|＝2.
变式迁移1　解　(1)∵(－cos x)′＝sin x，
∴ʃ|sin x|dx＝ʃ|sin x|dx＋ʃ|sin x|dx
＝ʃsin xdx－ʃsin xdx
＝－cos x|＋cos x|
＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4.
(2)ʃsin2xdx＝ʃdx
＝ʃdx－ʃcos 2xdx
＝x|－|
＝－
＝.
例2　解题导引　求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．
解　作出函数y＝x2和y＝3－(x－1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积．

解方程组得或
所以两曲线交点为A，B(2,2)．
所以S＝ʃ2－[3－(x－1)2]dx－ʃ2－x2dx
＝ʃ2－(－x2＋2x＋2)dx－ʃ2－x2dx
＝2－－2－
＝－－×
＝4.
变式迁移2　解　

如图，
设f(x)＝x＋3，
g(x)＝x2－2x＋3，
两函数图象的交点为A，B，
由
得或
∴曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积
S＝ʃ[f(x)－g(x)]dx
＝ʃ[(x＋3)－(x2－2x＋3)dx]
＝ʃ(－x2＋3x)dx
＝|＝.
故曲线与直线所围图形的面积为.
例3　解题导引　用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到路程．
解　方法一　由速度—时间曲线易知．
v(t)＝
由变速直线运动的路程公式可得
s＝ʃ3tdt＋ʃ30dt＋ʃ(－1.5t＋90)dt
＝t2|＋30t|＋|＝1 350 (m)．
答　此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.
方法二　由定积分的物理意义知，汽车1 min内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，
∴s＝(AB＋OC)×30＝×(30＋60)×30＝1 350 (m)．
答　此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.
变式迁移3　解　(1)设v(t)＝1.2t，令v(t)＝24，∴t＝20.
∴A、C间距离|AC|＝ʃ1.2tdt
＝(0.6t2)|＝0.6×202＝240 (m)．
(2)由D到B时段的速度公式为
v(t)＝(24－1.2t) m/s，可知|BD|＝|AC|＝240 (m)．
(3)∵|AC|＝|BD|＝240 (m)，
∴|CD|＝7 200－240×2＝6 720 (m)．
∴C、D段用时＝280 (s)．
又A、C段与B、D段用时均为20 s，
∴共用时280＋20＋20＝320 (s)．
课后练习区
1．D　2.B　3.D　4.D　5.B
6．0.36
解析　设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为F＝kx，
则1＝k×0.02，∴k＝50，
∴F＝50x，伸长12 cm时克服弹力做的功
W＝ʃ50xdx＝x2|＝×0.122＝0.36(J)．
7．1
解析　∵ʃ(2xk＋1)dx＝
＝＋1＝2，∴k＝1.
8．－18
解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，
即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，
∴ʃf(x)dx＝×33－4×32＋3×3＝－18.
9．解　(1)函数y＝2x2－的一个原函数是y＝x3－ln x，
所以ʃdx＝
＝－ln 2－＝－ln 2.………………………………………………………………(3分)
(2)ʃ2dx＝ʃdx
＝
＝－(2＋ln 2＋4)
＝ln ＋.…………………………………………………………………………………(6分)
(3)函数y＝sin x－sin 2x的一个原函数为
y＝－cos x＋cos 2x，所以ʃ0(sin x－sin 2x)dx
＝0
＝－＝－.……………………………………………………………(9分)

＝(3x－x2)|1＋(x2－3x)|2＝.…………………………………………………………(12分)
10．解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，
所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.………………………………………………(4分)
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………(8分)
(2)依题意，所求面积S＝ʃ(x2－2x＋1)dx
＝|＝.……………………………………………………………………(12分)
11．解　画出直线x＝－ln 2，y＝e－1及曲线y＝ex－1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．

由解得B(1，e－1)．
由解得A.…………………………………………………(4分)
此时，C(－ln 2，e－1)，D(－ln 2,0)．
所以S＝S曲边梯形BCDO＋S曲边三角形OAD
＝ʃ(e－1)dx－ʃ(ex－1)dx＋………………………………………(7分)
＝(e－1)x|－(ex－x)|＋|(ex－x)|| ………………………………………………(10分)
＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－1－e0)＋|e0－(e－ln 2＋ln 2)|
＝(e－1)(1＋ln 2)－(e－2)＋ln 2－
＝eln 2＋.……………………………………………………………………………(14分)