资源描述
阶段性测试题七(不等式)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)已知a，b为非零实数且a<b，则下列命题成立的是( )
A．a2<b2 B．ab2>a2b
C．< D．<
[答案] C
[解析] 若a<b<0，可得a2>b2，知A不成立．
若，可得a2b>ab2，知B不成立．
若a＝1，b＝2，则＝2，＝有>，知D不成立，故选C．
(理)设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的学问．
由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，
即x<－1或x>，又由于x>⇒2x2＋x－1>0，
而2x2＋x－1>0⇒/ x>，选A．
2．(2021·邵阳模拟)已知0<a<b，且a＋b＝1，则下列不等式，正确的是( )
A．log2a>0 B．2a－b<
C．2＋< D．log2a＋log2b<－2
[答案] D
[解析] 当a＝，b＝时，选项A不成立；
对于选项B，a－b＝－，2a－b＝2－＝()>()1＝，选项B错误；
对于选项C，＋＝3＋，2＋＝23＋>2>，选项C错误，故选D．
3．小王从甲地到乙地的来回时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a<v< B．v＝
C．<v< D．v＝
[答案] A
[解析] 设从甲地到乙地的全程为s，
则v＝＝
∵0<a<b，∴a＋b<2b，a＋b>2，
所以<<，
则a<<，即a<v<.故选A．
4．不等式x2－3x－10≥0的解集是( )
A．(－∞，－2]∪[5，＋∞) B．[－2,5]
C．(－∞，＋∞) D．∅
[答案] A
[解析] 由于依据一元二次不等式的解法，结合二次函数的图像及根的大小，可知x2－3x－10≥0⇔(x－5)(x＋2)≥0⇔x≥5或⇔x≤－2，可知不等式x2－3x－10≥0的解集是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．故答案为A．
5．已知x，y满足线性约束条件则的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[1,2] D．(－∞，＋∞)
[答案] A
[解析] 作出不等组表示的可行域，可知k＝，
表示可行域内的点与P(0，－1)，连线的斜率，
所以k≥kPC＝1，故选A．
6．(2021·温州一模)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图像为图中的( )
[答案] B
[解析] ∵ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，
∴a<0且－2,1为方程ax2－x－c＝0的两根．
∴，∴.∴f(x)＝－x2－x＋2，
∴f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)．故选B．
7．(2022·北京高考)若x、y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2
C． D．－
[答案] D
[解析] 如图，作出所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值－4时对应的直线y－x＝－4，即x－y－4＝0.明显z的几何意义为目标函数对应直线x－y＋z＝0在x轴上的截距的相反数，故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点，又kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，故k＝＝－.故选D．
8．某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费确定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业( )年后需要更新设备．( )
A．10 B．11
C．13 D．21
[答案] A
[解析] 由题意可知x年的维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年平均维护费用为y＝＝x＋＋1.5，由均值不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以选A．
9．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上满足f′(x)>0，则满足f(x2－2x)<f(x)的x的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－3,3) D．(1,3)
[答案] D
[解析] 由于偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上满足f′(x)>0，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)内单调递减，所以由f(x2－2x)<f(x)可得|x2－2x|<|x|，解得1<x<3，所以满足f(x2－2x)<f(x)的x的取值范围是(1,3)．
10．若函数f(x)＝，若af(－a)>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案] A
[解析] 若a>0，则由af(－a)>0得，aa>0，解得0<a<1.若a<0，则由af(－a)>0得，alog2(－a)>0，即log2(－a)<0解得0<－a<1，所以－1<a<0.
综上0<a<1或－1<a<0，选A．
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．
[答案] 2
[解析] 解法1：由m(x－1)>x2－x整理得(x－1)(m－x)>0，即(x－1)(x－m)<0，又m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，所以m＝2.
解法2：由条件知，x＝2是方程m(x－1)＝x2－x的根，
∴m＝2.
12．(文)(2022·湖南高考)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．
[答案] 7
[解析] 本题考查了简洁线性规划最优解问题．
可行域如图，要使z＝2x＋y最大，则该直线过点A，而点A的坐标由可得，A(3,1)，
∴zmax＝2×3＋1＝7.
(理)(2022·湖南高考)若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.
[答案] －2
[解析] 本题考查线性规划中参数的求值问题．
求出约束条件中三条直线的交点为(k，k)，(4－k，k)，(2,2)，且y≤x，x＋y≤4的可行域如图，所以k≤2，
要使z＝2x＋y最小，该直线过点A(k，k)，∴3k＝－6⇒k＝－2，故填－2.
13．已知向量a＝(x，－2)，b＝(y,1)，其中x，y都是正实数，若a⊥b，则t＝x＋2y的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 由于a⊥b，所以a·b＝(x，－2)·(y,1)＝0，
即xy＝2，又t＝x＋2y≥2＝4，
所以t＝x＋2y的最小值是4.
14．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
[答案] (－∞，0]
[解析] ∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，
∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：
当2x＝2，即x＝1时，y有最小值为0.
∴a的取值范围为(－∞，0]．
15．已知函数f(x)与g(x)的图像关于直线x＝2对称，若f(x)＝4x－15，则不等式≥0的解集是________．
[答案] (－∞，－1)∪[，1)
[解析] 若f(x)＝4x－15，则g(x)＝f(4－x)＝4(4－x)－15＝1－4x，故不等式≥0等价于≥0，
即(x－1)(x＋1)(4x－1)≤0(x≠1且x≠－1)，
解得x<－1或≤x<1.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．
[解析] (1)∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}．
∴k<0且x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根．
∴x1x2＝6，x1＋x2＝－5.∴k＝－.
(2)由于k≠0，要使不等式解集为∅，只需，
即，解得k≥.
即k的取值范围是k≥.
17．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，关于x的不等式ax>1的解集是{x|x>0}，解关于x的不等式loga(x－)<0的解集．
[解析] 由于关于x的不等式ax>1的解集是{x|x>0}，所以a>1，故loga(x－)<0⇔⇔－1<x<或1<x<，
∴原不等式的解集是(－1，)∪(1，)．
18．(本小题满分12分)已知向量a＝(x，m)，b＝(1－x，x)，其中m∈R.若f(x)＝a·B．
(1)当m＝3时解不等式f(x)<x；
(2)假如f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，求实数m的取值范围．
[解析] 由于a＝(x，m)，b＝(1－x，x)，
所以f(x)＝a·b＝－x2＋(m＋1)x.
(1)当m＝3时，f(x)＝－x2＋4x，不等式f(x)<x，
即－x2＋4x<x，解得x>3或x<0，
所以m＝3时，不等式f(x)<x的解集为
(－∞，0)∪(3，＋∞)．
(2)假如f(x)＝－x2＋(m＋1)x在(－2，＋∞)上单调递减，则有≤－2，解得m≤－5，
所以实数m的取值范围是m≤－5.
19．(本小题满分12分)已知α，β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，求动点(a，b)所在的区域面积S.
[解析] 由函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)可得，f′(x)＝x2＋ax＋2b，
由题意知，α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两个根，
且α∈(0,1)，β∈(1,2)，因此得到可行域
，即，
画出可行域如图，
所以S＝.
20．(本小题满分13分)函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)；
(2)求f(x)；
(3)当0<x<2时不等式f(x)>ax－5恒成立，求a的取值范围．
[解析] (1)令x＝1，y＝0，
得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，
∴f(0)＝f(1)－2＝－2.
(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，
∴f(x)＝x2＋x－2.
(3)f(x)>ax－5化为x2＋x－2>ax－5，
ax<x2＋x＋3，∵x∈(0,2)，
∴a<＝1＋x＋.
当x∈(0,2)时，1＋x＋≥1＋2，当且仅当x＝，
即x＝时取等号，
由∈(0,2)，得(1＋x＋)min＝1＋2.
∴a<1＋2.
21．(本小题满分14分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度确定(平面图如图所示)，假如池四四周墙建筑单价为400元/m，中间两道隔墙建筑单价为248元/m，池底建筑单价为80元/m2，水池全部墙的厚度忽视不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
[分析] (1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求最值，得出结论；
(2)先由限制条件确定x的范围，然后推断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论．
[解析] (1)设污水处理池的宽为x(x>0)m，则长为 m.
则总造价
f(x)＝400×＋248×2x＋80×162
＝1 296x＋＋12 960
＝1 296＋12 960(x>0)
≥1 296×2＋12 960＝38 880(元)，
当且仅当x＝(x>0)，
即x＝10时取等号．
∴当长为16.2m，宽为10m时总造价最低，最低总造价为38 880元．
(2)由限制条件知，
∴10≤x≤16.
设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，
由函数性质易知g(x)在上是增函数，
∴当x＝10时(此时＝16)，
g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×(10＋)＋12 960＝38 882(元)．
∴当长为16m，宽为10m时，总造价最低，为38 882元．
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