资源描述
阶段性测试题五(平面对量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4) B．(3,7)
C．(1,1) D．(－1，－1)
[答案] D
[解析] 由于＝(2,4)，＝(1,3)，所以＝－＝(－1，－1)，即＝＝(－1，－1)．选D．
2．(2022·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝( )
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
[答案] B
[解析] 本题考查向量的坐标运算．
b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选C．
3．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于( )
A．2－ B．－＋2
C．－ D．－＋
[答案] A
[解析] 由题意知＝－，故＝＋＝－＝－(－)＝2－.
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0 B．2
C． D．3
[答案] B
[解析] 由题意得，a＋b＝c，且|c|＝，
∴|a＋b＋c|＝|2c|＝2.
5．已知a＝(3，－2)，b＝(1,0)向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] C
[解析] 向量λa＋b与a－2b垂直，则(λa＋b)(a－2b)＝0，又由于a＝(3，－2)，b＝(1,0)，故(3λ＋1，－2λ)(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
6．(2022·四川高考)平面对量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] D
[解析] 本题考查了平面对量的坐标运算以及向量的夹角公式．
c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，
a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
由两向量的夹角相等可得＝，即为＝，解得m＝2.
7．(2021·皖南八校联考)已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(－)＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[答案] A
[解析] (－)·(－)＝(－)·＝0，所以·＝·，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．
8．(2021·保定调研)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为( )
A．{－1} B．∅
C．{0} D．{0，－1}
[答案] A
[解析] ∵＝－，
∴x2＋x＋－＝0，
即＝－x2＋(1－x)，
∴－x2＋(1－x)＝1，即x＝0或x＝－1(x＝0舍去)，
∴x＝－1.
9．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于( )
A． B．－
C． D．－
[答案] A
[解析] 由|2a＋b|＝|a－2b|知
3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0.
而|a|＝1，|b|＝1，故a·b＝0，
即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，
故－π<α－β<0，故β－α＝，选A．
10．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2＋＋＝0，||＝||，则·等于 ( )
A． B．
C．3 D．2
[答案] C
[解析] 由2＋＋＝0，得＋＋＋＝＋＝0，所以＝－＝，即O是BC的中点，所以BC为外接圆的直径，BC＝2，则∠BAC＝90°，由于||＝||，所以△ABO为正三角形，所以∠ABO＝60°，∠ACB＝30°，且|AC|＝，所以·＝||·||·cos30°＝2××＝3，选C．
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．(文)若A、B、C、D四点共线，且满足＝(3a,2a)(a≠0)，＝(2，t)，则t＝________.
[答案]
[解析] 由于A、B、C、D四点共线，所以3at－4a＝0，
又a≠0，所以t＝.
(理)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，若a∥B．则锐角θ＝________.
[答案] 45°
[解析] 由于a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×＝0，得cos2θ＝，cosθ＝±，锐角θ为θ＝45°.
12．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是________．
[答案] 4,0
[解析] 2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，
|2a－b|＝
＝＝，
最大值为4，最小值为0.
13．(2022·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
[答案] 10
[解析] 此题考查向量数量积的运算．
∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝＝2，
∴a·b＝2××cos60°＝10.
14．(2022·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
[答案] 22
[解析] 本题考查向量的线性运算及向量的数量积．
由题意，＝＋＝＋，
＝＋＝＋
＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝2－·－2，
即2＝25－·－×64，解得·＝22.
借助·表示出·是解决本题的关键所在．
15．以下命题：①若|a·b|＝|a|·|b|，则a∥b；②a＝(－1,1)在b＝(3,4)方向上的投影为；③若△ABC中，a＝5，b＝8，c＝7，则·＝20；④若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则|2b|>|a＋2b|.其中全部真命题的标号是________．
[答案] ①②④
[解析] 由|a·b|＝|a|·|b||cos<a，b>|＝|a|·|b|，所以cos<a，b>＝±1，即<a，b>＝0或<a，b>＝π，所以a∥b，所以①正确．a在b方向上的投影为|a|cos<a，b>＝＝＝，所以②正确．cosC＝＝，即C＝60°，所以·＝||·||cos120°＝5×8×(－)＝－20，所以③错误．由|a＋b|＝|b|得，a2＋2a·b＝0，即2a·b＝－a2，若|2b|>|a＋2b|，则有4b2>a2＋4a·b＋4b2，即a2＋4a·b＝a2－2a2＝－a2<0，明显成立，所以④正确．
综上真命题的标号为①②④.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，是否能以a，b为平面内全部向量的一组基底？若能，试将向量c用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由．
[解析] ∵a＝(3，－2)，b＝(－2,1)．
∴3×1－(－2)×(－2)＝－1≠0.
∴a与b不共线，故确定能以a，b作为平面内的全部向量的一组基底．
设c＝λa＋ub即(7，－4)＝(3λ，－2λ)＋(－2u，u)＝(3λ－2u，－2λ＋u)，
∴，解得∴c＝a－2B．
17．(本小题满分12分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
(1)若A、B、C三点共线，求实数m的值；
(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．
[解析] (1)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－m，－(3＋m))．
∴＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
∵A、B、C三点共线，∴与共线，
∴3(1－m)＝2－m，∴m＝.
(2)由题设知＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)
∵∠ABC为锐角，
∴·＝3＋3m＋m>0⇒m>－
又由(1)可知，当m＝时，∠ABC＝0°
故m∈∪.
18．(本小题满分12分)A、B、C是△ABC的内角，a、b、c分别是其对边，已知m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n，B为锐角．
(1)求B的大小；
(2)假如b＝3，求△ABC的面积的最大值．
[解析] (1)∵m∥n，
∴2sinB(2cos2－1)－(－)cos2B＝0，
∴sin2B＋cos2B＝0，
∴2sin(2B＋)＝0，∴2B＋＝kπ(k∈Z)，
∴B＝－，
∵B为锐角，∴B＝.
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，
∴9＝a2＋c2－ac，
∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤9.等号在a＝c时成立，
∴S△ABC＝acsinB≤×9×＝.
故△ABC的面积的最大值为 .
19．(本小题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为.
(1)求|a＋2b|；
(2)若向量a＋2b与ta＋b垂直，求实数t的值．
[解析] (1)∵向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，
∴|a＋2b|＝＝
＝＝2.
(2)∵向量a＋2b与ta＋b垂直，
∴(a＋2b)·(ta＋b)＝0，
∴ta2＋(2t＋1)a·b＋2b2＝0，
∴4t＋(2t＋1)×2×1×cos＋2＝0，解得t＝－.
20．(本小题满分13分)如图所示，已知△OCB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝B．
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
[解析] (1)由题意知，A是BC的中点，且＝.由平行四边形法则，可得＋＝2，
所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－B．
(2)如题图，∥，
又由于＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
且＝2a－b，所以＝，
所以λ＝.
21．(本小题满分14分)(文)已知向量OP＝(2cos(＋x)，－1)，OQ＝(－sin(－x)，cos2x)，定义函数f(x)＝OP·OQ.
(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面积S.
[解析] (1)f(x)＝OP·OQ＝(－2sinx，－1)·
(－cosx，cos2x)＝sin2x－cos2x
＝sin(2x－)，
∴f(x)的最大值和最小值分别是和－.
(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A－)＝.
∴2A－＝或2A－＝.
∴A＝或A＝.
又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝，
∵bc＝8，∴△ABC的面积S＝bcsinA
＝×8×＝2.
(理)已知O为坐标原点，向量OA＝(sinα，1)，OB＝(cosα，0)，OC＝(－sinα，2)，点P满足AB＝BP.
(1)记函数f(α)＝PB·CA，α∈(－，)，争辩函数f(α)的单调性，并求其值域；
(2)若O，P，C三点共线，求|OA＋OB|的值．
[解析] (1)AB＝(cosα－sinα，－1)，设OP＝(x，y)，
则BP＝(x－cosα，y)．
由AB＝BP得x＝2cosα－sinα，y＝－1，
故OP＝(2cosα－sinα，－1)．
PB＝(sinα－cosα，1)，CA＝(2sinα，－1)．
f(α)＝PB·CA＝(sinα－cosα，1)·(2sinα，－1)
＝2sin2α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)
＝－sin(2α＋)，
又α∈(－，)，故0<2α＋<，
当0<2α＋≤，即－<α≤时，f(α)单调递减；
当<2α＋<，即<α<时，f(α)单调递增，
故函数f(α)的单调递增区间为(，)，
单调递减区间为(－，]，
由于sin(2α＋)∈(－，1]，
故函数f(α)的值域为[－，1)．
(2)OP＝(2cosα－sinα，－1)，OC＝(－sinα，2)，
由O，P，C三点共线可得
(－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，得tanα＝.
sin2α＝＝＝.
∴|OA＋OB|＝
＝＝.
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