资源描述
阶段性测试题三(导数及其应用)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2
[答案] B
[解析] 用f(1)＝－1验证即可．
2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度关系是( )
A．甲大 B．乙大
C．相等 D．无法比较
[答案] B
[解析] v1＝s1′＝3t2－4t＋1，v2＝s2′＝6t－1，所以在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．
3．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )
A．ln2 B．－ln2
C． D．－
[答案] A
[解析] 易知f′(x)＝ex－a·e－x，由于f′(x)是奇函数，所以f′(0)＝1－a＝0，即a＝1，所以f′(x)＝ex－e－x＝，解得x＝ln2，所以切点的横坐标为ln2.
4．(文)已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝x2－lnx B．f(x)＝xex
C．f(x)＝sinx D．f(x)＝＋
[答案] D
[解析] 本题考查导数的运算，据导数的运算公式知只有D符合题意．
(理)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
[答案] B
[解析] 由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
5．(文)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)<0 B．f′(x0)>0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，故f′(x0)＝3.故选B．
(理)已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
[答案] D
[解析] 由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)|＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)，选D．
6．已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为( )
A．f(－a2)≤f(－1)
B．f(－a2)<f(－1)
C．f(－a2)≥f(－1)
D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定
[答案] A
[解析] 由题意可得f′(x)＝x2－2x－，令f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝.当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<时，f(x)为减函数．
所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又由于－a2≤0，所以f(－a)2≤f(－1)．
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f′(x)>0，且f(0)＝0，f(－)＝0，则不等式f(x)<0的解集为( )
A．{x|x<} B．{x|0<x<}
C．{x|x<－或0<x<} D．{x|－≤x≤0或x≥}
[答案] C
[解析] 依据图像得不等式f(x)<0的解集为{x|x<－或0<x<}．
8．(文)已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝( )
A．－2或2 B．－9或3
C．－1或1 D．－3或1
[答案] A
[解析] 本试题主要考查了导数在争辩三次函数中的极值的运用，要使函数图像与x轴有两个不同的交点，则需要满足极值中一个为零即可，由于三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者微小值为零即可满足要求．而f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＝±1时取得极值，由f(1)＝0或f(－1)＝0可得c－2＝0或c＋2＝0，即c＝±2.
(理)(2022·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 本题考查定积分的运算，函数的新定义．
由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1,1]上的正交函数，即需满足f(x)g(x)dx＝0.
① f(x)g(x)dx＝sinxcosxdx＝sinxdx＝(－cosx)|＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；
②f(x)g(x)dx＝ (x＋1)(x－1)dx＝(－x)|＝－≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；
③f(x)g(x)dx＝x·x2dx＝|＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．
综上，其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是2.
9．已知f(x)＝alnx＋x2(a>0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有≥2恒成立，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1]
[答案] A
[解析] 由于＝k≥2恒成立，
所以f′(x)≥2恒成立．
又f′(x)＝＋x，故＋x≥2，
又x>0，所以a≥－x2＋2x，
而g(x)＝－x2＋2x在(0，＋∞)上最大值为1，
所以a≥1.故选A．
10．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是( )
①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx， ⑤f(x)＝x＋
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] B
[解析] ①中的函数f(x)＝x2，f′(x)＝2x，要使f(x)＝f′(x)，则x2＝2x，解得x＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则e－x＝－e－x，由对任意的x，有e－x>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则lnx＝，由函数f(x)＝lnx与y＝的图像它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则tanx＝，即sinxcosx＝1，明显无解，原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则x＋＝1－，即x3－x2＋x＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，明显函数g(x)在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C．
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．曲线f(x)＝x(3lnx＋1)在x＝1处的切线方程为________．
[答案] 4x－y－3＝0
[解析] f′(x)＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，
∴f′(1)＝4，又f(1)＝1，∴曲线f(x)＝x(3lnx＋1)在x＝1处的切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.
12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)有极大值5，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的解析式为________．
[答案] f(x)＝2x3－9x2＋12x
[解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋C．
由导函数y＝f′(x)的图像可知：当x<1时，f′(x)>0；
当1<x<2时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在x＝1时取得极大值5，∴f(1)＝5.
又由图像可知，x＝1,2是导函数f′(x)的零点，
可得即解得
∴所求函数的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.
13．已知函数f(x)＝alnx＋(x＋1)2在x＝1处有极值，则函数f(x)的单调递减区间为________．
[答案] (0,1)
[解析] f′(x)＝＋2(x＋1)．
∵函数f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(x)＝a＋4＝0，a＝－4，
∴f(x)＝－4lnx＋(x＋1)2，
f′(1)＝－＋2(x＋1)＝(x>0)，
∴函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
14．已知函数f(x)＝lnx－a，若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案] [－1，＋∞)
[解析] ∵函数f(x)＝lnx－a，且f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)＝lnx－a<x2在(1，＋∞)上恒成立，
∴a>lnx－x2，令h(x)＝lnx－x2，有h′(x)＝－2x，
∵x>1，∴－2x<0，∴h(x)在(1，＋∞)上为减函数，
∴当x∈(1，＋∞)时，h(x)<h(1)＝－1，∴a≥－1.
15．(文)在区间[－a，a](a>0)内图像不间断的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又当0<x<a时，有f′(x)＋f(x)>0，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________．
[答案] 2
[解析] ∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)为偶函数，
∵g(x)＝ex·f(x)，∴g′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]>0，
∴g(x)在[0，a]上为单调增函数，
又∵g(0)·g(a)<0，
∴函数g(x)＝ex·f(x)在[0，a]上只有一个零点，
又∵ex≠0，
∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点，
∵f(x)是偶函数，且f(0)≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且仅有两个零点．
(理)函数y＝cos3x＋sin2x－cosx的最大值________．
[答案]
[解析] ∵y＝cos3x＋sin2x－cosx＝cos3x＋(1－cos2x)－cosx＝cos3x－cos2x－cosx＋1，令t＝cosx，则－1≤t≤1，则y＝t3－t2－t＋1，则y′＝3t2－2t－1＝(3t＋1)(t－1)，令y′＝0，解得t＝－或t＝1，列表如下：
x
[－1，－)
－
(－，1]
y′
＋
0
－
y
增
极大值
减
故函数y＝t3－t2－t＋1在x＝－取得极大值，亦即最大值，即ymax＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝x3－3x＋1.试推断函数f(x)的单调性．
[解析] 由于f(x)＝x3－3x＋1，
所以f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
由f′(x)<0，解得x∈(－1,1)；
由f′(x)>0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)．
所以f(x)在[－1,1]上单调递减，
在(－∞，－1]，[1，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)的单调减区间是[－1,1]，
单调增区间是(－∞，－1]与[1，＋∞)．
(理)设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)争辩函数f(x)的单调性．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b，
f(1)＝1－3a＋3b＝－11， ①
f′(1)＝3－6a＋3b＝－12. ②
解由①、②组成的关于a，b的方程组，得a＝1，b＝－3.
(2)f(x)＝x3－3x2－9x，
f′(x)＝3x2－6x－9.
由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
∴f(x)在(－∞，－1]，[3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx－，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝＋.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，
所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.
(2)由于f′(x)＝.
当a≥0时，对于x∈(0，＋∞)，有f′(x)>0在定义域上恒成立，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－∈(0，＋∞)．
当x∈(0，－)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)争辩f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
[解析] (1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．
令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)单调递增，在(－2，－ln2)单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
19．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－k有三个零点，求实数k的取值范围．
[解析] f′(x)＝3ax2－B．
(1)由题意得，解得，故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有微小值－，
故要使g(x)＝f(x)－k有三个零点，实数k的取值范围为－<k<.
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx(a∈R)．
(1)若f(x)在(2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)若f(x)在(0，e)内有微小值，求a的值．
[解析] (1)∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝≥0在(2，＋∞)恒成立，
即x2－(a＋1)x＋a≥0在(2，＋∞)恒成立，
即(1－x)a＋x2－x≥0在(2，＋∞)恒成立，
即(1－x)a≥x－x2在(2，＋∞)恒成立，
即a≤x在(2，＋∞)恒成立．
∴实数a的取值范围是(－∞，2]．
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＝，
①当a>1时，令f′(x)>0，结合f(x)定义域解得0<x<1或x>a，
∴f(x)在(0,1)和(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减，
此时f(x)微小值＝f(a)＝－a2－a＋alna，
若f(x)在(0，e)内有微小值，则1<a<e，
但此时－a2－a＋alna<0<冲突．
②当a＝1时，此时f′(x)恒大于等于0，不行能有微小值．
③当a<1时，不论a是否大于0，f(x)的微小值只能是f(1)＝－－a，
令－－a＝，即a＝－1，满足a<1.
综上所述，a＝－1.
21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；
(3)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1<x2，且f(x1)＋2x1<f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，
f′(x)＝2x－3＋.
由于f′(1)＝0，f(1)＝－2.
所以切线方程是y＝－2.
(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝(x>0)，
令f′(x)＝0，即f′(x)＝＝＝0，
所以x＝或x＝.
当0<≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
当1<<e时，f(x)在[1，e]上的最小值是f()<f(1)＝－2，不合题意；
当≥e时，f(x)在(1，e)上单调递减，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合题意．
综上可知a≥1.
(3)设g(x)＝f(x)＋2x，则g(x)＝ax2－ax＋lnx，
只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．
而g′(x)＝2ax－a＋＝.
当a＝0时，g′(x)＝>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，由于x∈(0，＋∞)，只要2ax2－ax＋1≥0，则需要a>0，
对于函数y＝2ax2－ax＋1，过定点(0,1)，对称轴x＝>0，只需Δ＝a2－8a≤0，即0<a≤8.
综上0≤a≤8.
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