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高考小题分项练(三)
(推举时间：40分钟)
1．(2022·大纲)不等式组的解集为( )
A．{x|－2<x<－1} B．{x|－1<x<0}
C．{x|0<x<1} D．{x|x>1}
答案 C
解析 由得
所以0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.
2．设数列{an}满足a1＋2a2＝3，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有PnPn＋1＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn为( )
A．n(n－) B．n(n－)
C．n(n－) D．n(n－)
答案 A
解析 ∵PnPn＋1＝OPn＋1－＝(n＋1，an＋1)－(n，an)＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，
∴an＋1－an＝2.
∴{an}是公差为2的等差数列．
由a1＋2a2＝3，得a1＝－，
∴Sn＝－＋n(n－1)×2＝n(n－)．
3．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则(ihi)＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则(iHi)的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 在平面四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，依据三角形面积公式，得
S＝(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)
＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
＝(ihi)．
所以(ihi)＝.
类似地，连接Q点与三棱锥的四点，将其分成四个小三棱锥，则有V＝(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)
＝(kH1＋2kH2＋3kH3＋4kH4)＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)＝(iHi)，所以(iHi)＝.
4．设复数z＝()2，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 A
解析 z＝()2＝＝－2a＋i，由题意知，a＝－1，从而z的虚部为－.
5．已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为( )
A. B．4 C. D.
答案 D
解析 方法一 a2＋4b2＋≥＋＝＋8＝.当且仅当a＝2b时等号成立．
方法二 由于1＝a＋2b≥2⇒ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号．
又由于a2＋4b2＋≥2a·(2b)＋＝4ab＋.令t＝ab，所以f(t)＝4t＋在(0，]上单调递减，所以f(t)min＝f()＝.此时a＝2b＝.
6．实数对(x，y)满足不等式组则目标函数z＝kx－y，当且仅当x＝3，y＝1时取最大值，则k的取值范围是( )
A.∪[1，＋∞)
B.
C.
D．(－∞，－1]
答案 C
解析 不等式组所表示的区域如图所示，直线z＝kx－y⇒y＝kx－z过(3,1)时z取最大值，即直线y＝kx－z在y轴上的截距－z最小，由图可得直线y＝kx－z的斜率k∈，故选C.
7．如图所示的三角形数阵是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由“第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)”可知，第7行第1个数为，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为－＝，同理，第7行第3个数为－＝，第7行第4个数为－＝.
8．(2022·北京)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A．7 B．42 C．210 D．840
答案 C
解析 程序框图的执行过程如下：
m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，
k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；
k＝k－1＝6>5，S＝6×7＝42；
k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；
k＝k－1＝4<5，输出S＝210.故选C.
9．对于使－x2＋2x≤M成立的全部常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界．若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A．－3 B．－4
C．－ D．－
答案 D
解析 由于a，b∈R＋，且a＋b＝1，
所以－－＝－－
＝－－(＋)≤－－2＝－，
即－－的上确界为－.
10．已知等差数列{an}中，a3＝9，a5＝17，记数列{}的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤(m∈Z)，对任意的n∈N*成立，则整数m的最小值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案 B
解析 在等差数列{an}中，∵a3＝9，a5＝17，
∴
解得a1＝1，d＝4，
∴＝＝.
∵(S2n＋1－Sn)－(S2n＋3－Sn＋1)
＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)
＝－－
＝－－
＝(－)＋(－)>0，
∴数列{S2n＋1－Sn}(n∈N*)是递减数列，数列{S2n＋1－Sn}(n∈N*)的最大项为S3－S1＝＋＝，
∵≤，∴m≥，
又∵m是整数，∴m的最小值为4，故选B.
11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 f′(x)>2转化为f′(x)－2>0，
构造函数F(x)＝f(x)－2x，
得F(x)在R上是增函数．
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)>2x＋4，
即F(x)>4＝F(－1)，所以x>－1.
12．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
答案 －49
解析 由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝.
两式相减得a15－a10＝＝5d，
∴d＝，a1＝－3.
∴nSn＝n·＝＝f(n)，
f′(n)＝n(3n－20)．
令f′(n)＝0得n＝0(舍)或n＝.
当n>时，f(n)是单调递增的；
当0<n<时，f(n)是单调递减的．
故当n＝7时，f(n)取最小值，f(n)min＝－49.
∴nSn的最小值为－49.
13．已知正数x，y满足则z＝()x·4－y的最小值为________．
答案
解析 z＝()x＋2y，令t＝x＋2y，作出可行域易得目标函数t的最大值为5，则z的最小值为.
14．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则推断框中的整数M的值为________．
答案 4
解析 当A＝1，S＝1时，执行S＝S＋2A，A＝A＋1后，S的值为3，A的值为2，…，依次类推，当A＝4时，执行S＝S＋2A，A＝A＋1后，S的值为31，A的值为5，所以M的值为4.
15．已知 ＝2× ， ＝3×， ＝4×，…，观看以上各式，若 ＝8·(a，t均为正实数)，则a＋t＝________.
答案 71
解析 观看可知，各式中右边根式部分与根式中分数的分子相同，依次为2,3,4，…，且各根式中分数的分母依次为3,8,15，…，即22－1,32－1,42－1，…，
∴ ＝ ＝ .
∴a＝8，t＝63，即a＋t＝71.
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