资源描述
[基础达标]
1．(2021·高考大纲全国卷)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选B．由于m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
2．(2021·高考福建卷)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A． B．2
C．5 D．10
解析：选C．∵·＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
3．在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M在AB上，且满足＝2，则·等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B．由题意可知，
·＝(＋)·
＝·＋·
＝0＋×3×3cos 45°＝3.
4．(2022·湖南长沙模拟)关于平面对量a，b，c，有下列三个命题：
(1)若a·b＝a·c，则a＝0或b＝c；
(2)若a＝(1，k)，b＝(－2，6)且a⊥b，则k＝；
(3)非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中全部真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，可得a＝0或b＝c或a⊥(b－c)，即命题(1)不正确；若a＝(1，k)，b＝(－2，6)且a⊥b，则a·b＝－2＋6k＝0，得k＝，即命题(2)正确；非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则可得出一个等边三角形，且a与a＋b的夹角为30°，即命题(3)正确，综上可得真命题有2个．
5．在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：
选B．由题意画示意图，如图，＝1表示在上的投影为1，即AD的长为1，＝2表示在上的投影为2，即BD的长为2，故AB边的长度为3.
6．(2021·高考重庆卷)在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________．
解析：如图所示，由于＝(－3，1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．
在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3，1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
答案：4
7．(2022·辽宁大连模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为__________．
解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，
故向量＝(－8，8)，||＝8.
答案：8
8．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥(a－b)，则a与b的夹角为________．
解析：由于(a＋b)⊥(a－b)，所以a2－b2－a·b＝0.又由于|a|＝2，|b|＝1，所以4－－a·b＝0，所以a·b＝1.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.
答案：
9．已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°，
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求C．
解：(1)∵a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，
∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0(n>1)．
∴n＝6或n＝－(舍去)，∴b＝(－2，6)．
(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.
又∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)．
∵(c－a)·a＝0，∴λb·a－|a|2＝0，
∴λ＝＝＝.
∴c＝b＝(－1，3)．
10．(2022·江苏徐州模拟)已知向量a＝(4，5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α∈(0，)，a⊥b，求：
(1)|a＋b|；
(2)cos(α＋)的值．
解：(1)由于a⊥b，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，
解得sin α＝.又由于α∈(0，)，
所以cos α＝，tan α＝＝，
所以a＋b＝(7，1)，
因此|a＋b|＝＝5.
(2)cos(α＋)＝cos αcos－sin αsin
＝×－×＝.
[力气提升]
1．(2022·云南昆明质检)在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使 ＝2，那么·＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D．如图，＝＋.
又∵＝2，
∴＝＋＝＋(－)，
即＝＋，
∵∠C＝，∴·＝0，
∴·＝·
＝2＋·＝6.
2．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )
A．[，2] B．[0，]
C．[，] D．[0，1]
解析：选C．将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1.又M(1，)，
C(1，1)，所以＝(1－x，)，＝(1－x，1)，所以·＝(1－x，)·(1－x，1)＝(1－x)2＋.由于0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是[，]．
3．(2022·高考湖北卷)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为__________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为__________．
解析：(1)∵2a＋b＝(3，1)，∴|2a＋b|＝＝.
∴与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为＝.
(2)∵b－3a＝(－2，1)，∴|b－3a|＝，|a|＝1，
(b－3a)·a＝(－2，1)·(1，0)＝－2，
∴cos〈b－3a，a〉＝＝＝－.
答案：(1) (2)－
4．(2022·江苏常州模拟)在△ABC中，有如下命题，其中正确的是________．
①－＝；②＋＋＝0；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
解析：在△ABC中，－＝，①错误；若·>0，则∠B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误．
答案：②③
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(cos α，sin α)，设m＝a＋tb(t为实数)．
(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；
(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为？若存在，恳求出t；若不存在，请说明理由．
解：(1)由于α＝，所以b＝，a·b＝，
则|m|＝＝＝
＝ ，
所以当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为.
(2)存在实数t满足条件，理由如下：
假设存在满足条件的实数t，
则cos ＝，
由于a⊥b，所以a·b＝0，
得|a－b|＝＝，
|a＋tb|＝＝，
(a－b)·(a＋tb)＝5－t，
则有＝，且t<5，
整理得t2＋5t－5＝0，所以存在t＝满足条件．
6．(选做题)已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．
解：(1)a·b＝cos xcos －sin x sin
＝cos＝cos 2x，
|a＋b|2＝＋
＝2＋2cos 2x＝4cos2x，
∵x∈，∴cos x≥0，
∴|a＋b|＝2cos x.
(2)∵f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－4λcos x－1，
∴f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.
∵x∈，∴cos x∈[0，1]．
①当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，
f(x)取最小值－1－2λ2＝－，
解得λ＝.
②当λ>1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取最小值1－4λ＝－，解得λ＝与λ>1冲突．
综上所述，λ＝即为所求．
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