2022届高考数学(文科人教A版)大一轮专项强化训练(三)数列的综合应用-.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1. (2021福州模拟)设an,bn分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是()A. a2b2B.a3b5D.a6b6【解析】选A.设an的公差为d,bn的公比为q,由题可得d=-1,q=322,于是a2=3b2=232,故选A.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则(a1+a2)2b1b2的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得a1+a2=x+y,b1b2=xy,所以(a1+a2)2b1b2=(x+y)2xy=2+xy+yx.当x,y同号时,xy+yx2;当x,y异号时,yx+xy-2.所以(a1+a2)2b1b2的取值范围为(-,04,+).答案:(-,04,+)2.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24B.32C.48D.64【解析】选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得an+2an=2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32.又由于an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.设an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS5D.S6与S7均为Sn的最大值【解析】选C.由于an是等差数列,所以Sn=d2n2+a1-d2n.由于S5S8,所以Sn关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d0,S6与S7均为Sn的最大值,S90,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的挨次排列成一个数列,则该数列的通项公式为()A.an=n(n-1)2,nN*B.an=n(n-1),nN*C.an=n-1,nN*D.an=2n-2,nN*【解析】选C.当x0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x0时,若x=n,nN*,则f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整数部分,由f(x)=x得f (x-x-1)=x-x-1,其中-1x-x-10,y0),已知数列an满足:an=F(n,2)F(2,n)(nN*),若对任意正整数n,都有anak(kN*)成立,则ak的值为()A.89B.2C.1D.4【解析】选A.an=2nn2,an+1an=2n+1(n+1)22nn2=2n2(n+1)2,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2(n+1)2,即当n3时,an+1an,故数列an中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=89,故ak的值为89.5.(2021安庆模拟)气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的修理保养费为n+4910(nN*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了()A.600天B.800天C.1000天D.1200天【解析】选B.由第n天的修理保养费为n+4910(nN*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=3.2104n+n20+9920,当且仅当3.2104n=n20时取得最小值,此时n=800,故选B.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线大路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开头时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A.1和20B.9和10C.9和11D.10和11【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是S=10(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10(20-i)=10(i-1+1)(i-1)2+(1+20-i)(20-i)2=10(i2-21i+210).所以当i=10或11时,S有最小值.二、填空题6.(2021镇江模拟)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.【解析】由于y=xn+1(nN*),所以y=(n+1)xn(nN*),所以y|x=1=n+1,所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=nn+1,所以xn=nn+1,所以an=lgxn=lgnn+1=lg n-lg(n+1),所以a1+a2+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.答案:-27.某厂生产微机,原方案第一季度每月增产台数相同,在生产过程中,实际二月份比原方案多生产10台,三月份比原方案多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量比原方案第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产微机台.【解析】原方案第一季度三个月分别生产a1,a1+d,a1+2d台微机,现在实际上生产了a1,a1+d+10,a1+2d+25台.由题意得解得故第一季度实际生产微机台数是3a1+3d+35=305.答案:3058.数列an的前n项和为Sn,若数列an的各项按如下规律排列:12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,1n,2n,n-1n,有如下运算和结论:a24=38;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,是等比数列;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,的前n项和为Tn=n2+n4;若存在正整数k,使Sk10,Sk+110,则ak=57.其中正确的结论有.(将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】依题意,将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于1+2+3+nn+1=n2,对于,留意到21=6(6+1)2247(7+1)2=28,因此数列an中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=38,因此正确.对于,设bn为中的数列的通项,则bn=1+2+3+nn+1=n2,明显该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于12n(n+1)2=n2+n4,因此不正确,正确.对于,留意到数列的前6组的全部项的和等于62+64=1012,因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数,即ak=57,因此正确.综上所述,其中正确的结论有.答案:三、解答题9.(2021潍坊模拟)已知等差数列an的公差为2,它的前n项和Sn=pn2+2n,nN*.(1)求p的值及an.(2)若bn=2n-1(an-1),求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.由已知:a2-a1=2,所以p=1,所以an=2n+1,nN*.(2)由(1)得bn=n2n,Tn=12+222+n2n,2Tn=122+223+n2n+1,-整理得:Tn=(n-1)2n+1+2.10.(2022天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n,证明:若anbn,则st.【解析】(1)当q=2,n=3时,M=0,1,A=x|x=x1+2x2+4x3,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及anbn,可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+（an-1-bn-1）qn-2+（an-bn）qn-1（q-1）+（q-1）q+（q-1）qn-2-qn-1所以,st.11.已知an是由正数组成的数列,a1=1且点(an,an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足b1=1,bn+1=bn+2an,求证:bnbn+2bn+12.【解题提示】(1)由点在函数图象上即可得出an+1与an的关系,从而可写出通项公式.(2)结合(1)找出bn+1与bn的关系式,从而可得bn,然后利用作差法比较大小.【解析】(1)由已知,得an+1=an+1,得an+1-an=1,又a1=1,所以数列an是以1为首项,1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)1=n.(2)由(1),知an=n,从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2+1=1-2n1-2=2n-1.由于bnbn+2-bn+12=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-22n+1+1)=-52n+42n=-2n0,所以bnbn+2bn+12.【方法技巧】数列与函数的综合一般体现在两个方面:(1)以数列的特征量n,an,Sn等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系.(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.【加固训练】已知数列an的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式.(2)设Q=x|x=kn,nN*,R=x|x=2an,nN*,等差数列cn的任一项cnQR,其中c1是QR中的最小数,110c10115,求cn的通项公式.【解析】(1)由于点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,所以Sn=n2+2n(nN*).当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)由于Q=x|x=2n+2,nN*,R=x|x=4n+2,nN*,所以QR=R.又由于cnQR,其中c1是QR中的最小数,所以c1=6,由于cn的公差是4的倍数,所以c10=4m+6(mN*).又由于110c10115,所以1104m+60,所以40n-2n2-980n2-20n+49010-51n10+51,又nN,所以n=3,4,5,17.所以当n=3时,即第3年开头获利.(2)年平均收入=f(n)n=40-2（n+49n）40-4n49n=12(万元),当且仅当n=49n,即n=7时等号成立.即年平均收益最大时,总收益为:127+26=110(万元),此时n=7.f(n)=-2(n-10)2+102,所以当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元,此时n=10.比较两种方案,总收益均为110万元,但第一种方案需7年,其次种方案需10年,故选择第一种方案.【加固训练】有一种零存整取的储蓄项目,在每月某日存入一笔相同金额,这是零存;到期可以提出全部本金和利息,这是整取,它的本利和公式如下:本利和=每期存入的金额存期+12存期(存期+1)利率.(1)试解释这个本利和公式.(2)若每月初存入100元,月利率为5.1%,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1%,期望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月初应存入多少?【解析】(1)设每期存入的金额为A,每期利率为P,存期为n,则各期的利息之和为nAP+(n-1)AP+2AP+AP=n(n+1)AP2,所以本利和为nA+n(n+1)AP2=An+n(n+1)2P(元).(2)到第12个月底的本利和为10012+1212(12+1)5.1%=1597.8(元).(3)设每月初应存入x元,则有x12+1212(12+1)5.1%=2000,解得x125.2.所以每月初应存入125.2元.13.(2021烟台模拟)已知Sn为数列an的前n项和,且有a1=1,Sn+1=an+1(nN*).(1)求数列an的通项an.(2)若bn=n4an,求数列bn的前n项和Tn.(3)设ck=k+2Sk(Tk+k+1),ck的前n项和为An,是否存在最小正整数m,使得不等式Anm对任意正整数n恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)当n=1时,a2=S1+1=a1+1=2.当n2时,Sn+1=an+1,Sn-1+1=an,相减得an+1=2an.又a2=2a1,所以an是首项为1,公比为2的等比数列.所以an=2n-1.(2)由(1)知an=2n-1,所以bn=n4an=n42n-1=n2n+1,所以Tn=122+223+324+n2n+1,12Tn=123+224+n-12n+1+n2n+2,两式相减得12Tn=122+123+124+12n+1-n2n+2=1221-12n1-12-n2n+2=12-n+22n+2,所以Tn=1-n+22n+1.(3)Ck=k+2Sk(Tk+k+1)=k+2(2k-1)1-k+22k+1+k+1=1(2k-1)1-12k+1=2k+1(2k-1)(2k+1-1)=212k-1-12k+1-1,所以An=k=1nk+2Sk(Tk+k+1)=k=1n212k-1-12k+1-1=21-12n+1-12,若不等式Anm对任意正整数n恒成立,则m2,所以存在最小正整数m=2.使不等式Anm对任意正整数n恒成立.关闭Word文档返回原板块