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课时提升作业(八)
对 数 函 数
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.函数y=3-log3x的定义域为( )
A.(-∞,9] B.(0,27]
C.(0,9] D.(-∞,27]
【解析】选B.要使函数有意义需3-log3x≥0,即log3x≤log327,所以0<x≤27.
【误区警示】本题易忽视函数y=log3x的定义域(0,+∞),而误选D.
2.(2022·衢州模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数
是( )
A.y=|log3x| B.y=x3
C.y=e|x| D.y=cos|x|
【解析】选C.函数y=e|x|与y=cos|x|是偶函数,函数y=e|x|在(0,1)上单调递增,故选C.
3.(2022·烟台模拟)设a=33,b=13-2,c=log32,则( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.a>c>b
【解析】选A.由于b=13-2=32,
所以a=33>b=32>1,
而c=log32<log33=1,故a>b>c.
4.(2021·济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(2022)+f(-2021)=( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【解析】选C.由f(x+2)=f(x)可知函数f(x)的周期是2,
又f(x)为奇函数,
所以f(2022)+f(-2021)=f(2022)-f(2021)
=f(0)-f(1)=log21-log22=-1.
5.(2022·杭州模拟)已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[0,+∞),则正实数a等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.要使f(x)的值域为[0,+∞),
需x2-2x+a≥1,结合选择支验证知a=2.
6.(2021·温州模拟)若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是( )
A.(0,1) B.0,12
C.12,1 D.(0,1)∪(1,+∞)
【解析】选C.由于loga(a2+1)<0=loga1,a2+1>1,
所以0<a<1,所以a2+1>2a,又loga2a<0,即2a>1,
所以0<a<1,a2+1>2a,2a>1,
解得12<a<1.
【误区警示】本题易忽视loga2a<0这一条件,而误选A.
【方法技巧】有关对数不等式的解题技巧
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,假如a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种状况争辩.
(2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式再求解.
7.(2022·金华模拟)函数f(x)=2|log2x|-x-1x的大致图象为( )
【解析】选D.由于f(x)=2|log2x|-x-1x
=x,0<x≤1,1x,x>1,
故结合图象知D正确
8.(2022·西安模拟)已知函数f(x)=2 0142x-12 0142x+1+ex,则f(ln2)+fln12=( )
A.52 B.32 C.12 D.0
【思路点拨】依据ln2与ln12=-ln2互为相反数,探究f(-x)与f(x)的关系,然后求值.
【解析】选A.令g(x)=2 0142x-12 0142x+1,
知g(-x)=-2 0142x-12 0142x+1=-g(x),
所以f(x)+f(-x)
=g(x)+g(-x)+ex+e-x=ex+e-x,
故f(ln2)+fln12=eln2+e-ln2=2+12=52.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.计算:log2.56.25+lg0.001+lne+2-1+log23= .
【解析】原式=log2.5(2.5)2+lg10-3+lne12+2log232
=2-3+12+32=1.
答案:1
10.(2022·北京高考)已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= .
【解析】f(ab)=lg(ab)=1,所以ab=10.
f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(a2b2)=lg100=2.
答案:2
11.(2022·丽水模拟)函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为 .
【解析】函数f(x)=|log3x|的图象如图:
而f(13)=f(3)=1,
由图可知a∈[13,1],b∈[1,3],
b-a的最小值为a=13,b=1时,即b-a=23,
故答案为23.
答案:23
12.(2022·苏州模拟)若函数f(x)=lg(ax+x2+1)是R上的奇函数,则a的值为 .
【解析】由已知得f(x)+f(-x)=0,即
lg(x2+1+ax)+lg(x2+1-ax)=0,
得lg[(x2+1+ax)(x2+1-ax)]=0,
所以(1-a2)x2+1=1,即(1-a2)x2=0,
又x∈R,所以1-a2=0,得a=±1.
答案:±1
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·湖州模拟)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域.
(2)求f(x)在区间0,32上的最大值.
【解析】(1)由于f(1)=2,所以loga4=2(a>0,a≠1),所以a=2.
由1+x>0,3-x>0,得x∈(-1,3),
所以函数f(x)的定义域为(-1,3).
(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)
=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4],
所以当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,
函数f(x)在0,32上的最大值是f(1)=log24=2.
【加固训练】已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?假如存在,试求出a的值;假如不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题设,3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,设g(x)=3-ax,由于a>0,且a≠1,所以g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数.从而g(2)=3-2a>0,所以a<32.
所以a的取值范围为(0,1)∪1,32.
(2)假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1,
即loga(3-a)=1,所以a=32.
此时f(x)=log32(3-32x),
当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数a不存在.
14.(2022·珠海模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)=0,当x>0时,f(x)=log12x.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)解不等式f(x2-1)>-2.
【解析】(1)当x<0时,-x>0,
则f(-x)=log12(-x).
由于函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).
所以函数f(x)的解析式为
f(x)=log12x,x>0,0,x=0,log12(-x),x<0.
(2)由于f(4)=log124=-2,
由于f(x)是偶函数,所以不等式f(x2-1)>-2可化为f(|x2-1|)>f(4).
又由于函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以|x2-1|<4,解得:-5<x<5,
即不等式的解集为(-5,5).
15.(力气挑战题)若f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1).
(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值.
(2)x取何值时,f(log2x)>f(1),且log2f(x)<f(1).
【解析】(1)由于f(x)=x2-x+b,
所以f(log2a)=(log2a)2-log2a+b,
由已知得(log2a)2-log2a+b=b,
所以log2a(log2a-1)=0.
由于a≠1,所以log2a=1,即a=2.
又log2f(a)=2,所以f(a)=4,
所以a2-a+b=4,所以b=4-a2+a=2,
故f(x)=x2-x+2.
从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2
=log2x-122+74.
所以当log2x=12,即x=2时,
f(log2x)有最小值74.
(2)由题意(log2x)2-log2x+2>2,log2(x2-x+2)<2,
⇒x>2或0<x<1,-1<x<2⇒0<x<1.
【加固训练】已知函数f(x)=-x+log21-x1+x.
(1)求f12 014+f-12 014的值.
(2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1),a是常数时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由f(x)+f(-x)=log21-x1+x+log21+x1-x=log21=0.
所以f12 014+f-12 014=0.
(2)f(x)的定义域为(-1,1).
由于f(x)=-x+log2-1+2x+1,
当x1<x2且x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数,
所以当a∈(0,1),x∈(-a,a]时,f(x)单调递减,
所以当x=a时,f(x)min=-a+log21-a1+a.
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