【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-5.docx

第十章 10.5 第5课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求大事的概率为P＝＝.
2．羊村村长慢羊羊打算从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　从5只羊中任选两只，有C＝10种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有C·C＝6种，故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为＝.选C.
3．袋中装有1个白球和3个黑球，从中摸出2个球正好一白一黑的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　白球记作A,3个黑球分别记为a，b，c.基本大事为Aa，Ab，Ac，ab，ac，bc，一白一黑共有3个基本大事．∴P＝.
4．从甲地到乙地有A1、A2、A3共3条路线，从乙地到丙地有B1、B2共2条路线，其中A2B1是从甲到丙的最短路线，某人任选了1条从甲地到丙地的路线，它正好是最短路线的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　基本大事，等可能大事的概率．
n＝3×2＝6，m＝1. ∴P(A)＝.
5．投掷两颗骰子，得到其向上点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案　C
解析　复数(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，则n2－m2＝0⇒m＝n，
∴投掷两颗骰子得到点数相同的状况只有6种，
∴所求概率为＝，故选C.
6．某公司规定，每位职工可以在每周的7天中任选2天休息(如选定星期一、星期三)，其余5天工作，以后不再改动，则甲、乙、丙三位职工恰好同时工作、同时休息的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　甲、乙、丙三位职工恰好同时工作、同时休息就是指三个人选定的休息日相同．由于每位职工从每周的7天中任选2天，有C种不同选法，所以甲、乙、丙三人一共有C·C·C种不同的选法，而他们选择的休息日相同的选法有C27，所以所求概率为P＝＝.
7．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有＝18(对)，而相互垂直的有5对，故依据古典概型概率公式得P＝.
二、填空题
8． 2022年伦敦奥运会我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参与体操竞赛，最终将有3人上场竞赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场竞赛的概率是 __________.
答案　
解析　由等可能大事知概率为＝.
9．在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球的个数的概率为________．
答案　
解析　依题意，白球的个数多于黑球的个数的状况有2白1黑、3白两种，其概率为＝.
10．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5的下方的概率为________．
答案　
解析　点P在直线x＋y＝5下方的状况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故P＝＝.
11．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是________．
答案　
解析　从五种不同属性物质中抽取两种共有如下所示10种状况．

其中相克的(金，木)，(金，火)，(木，土)，(水，火)， (水，土)五种状况，故所求的大事的概率为1－＝.
三、解答题
12．为了对某课题进行争辩，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成争辩小组，有关数据见下表(单位：人)．

高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
(1)求x，y；
(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
解析　(1)由题意可得，＝＝，所以x＝1，y＝3.
(2)记从高校B抽取的2人为 b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本大事有
(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1， c3)，(c2，c3)，共10种．
设选中的2人都来自高校C的大事为X，则X包含的基本大事有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3种．因此P(X)＝.
故选中的2人都来自高校C的概率为.
13．有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个．
(ⅰ)用零件的编号列出全部可能的抽取结果；
(ⅱ)求这2个零件直径相等的概率．
解析　(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为大事A，则P(A)＝＝.
(2)(ⅰ)一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，全部可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．
(ⅱ)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为大事B)的全部可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．所以P(B)＝＝.
14．一个袋中装有四个外形大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．
解析　(1)从袋中随机取出两个球，其一切可能的结果组成的基本条件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的大事共有1和2,1和3两个．
因此所求大事的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，登记编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，登记编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的大事为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，
所以满足条件n≥m＋2的大事的概率为P1＝.
故满足条件n<m＋2的大事的概率为1－P1＝1－＝.
15．从2009年夏季入学的高二新生开头，我省一般高中全面实施新课程．新课程的一个最大亮点就是实行课程选修制．现在某校开出语文、数学、英语三门学科的选修课各一门，假如有4位同学，每位同学选语文、数学、英语选修课的概率均为，求：
①有三位同学选择数学选修课的概率；
②这4位同学中有几个人选数学选修课的概率最大．
解析　(1)设“有三位同学选择数学选修课”为大事A，则P(A)＝＝.
(2)设ξ的全部可能的取值为0,1,2,3,4由等可能性大事的概率公式可得：
P(ξ＝0)＝()4＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝()4＝
所以这4位同学中只有1个同学选数学选修课的概率最大．

拓展练习·自助餐

1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　要使log2xy＝1，则要求2x＝y，∴毁灭的基本大事数为3，∴概率为＝.
2．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“10”和“北京”的字块，假如婴儿能够排成“2010北京”或者“北京2010”，则他们就给婴儿嘉奖．假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到嘉奖的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
3．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000块大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀搅混在一起，任取一个，其两面涂有油漆的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　每条棱上有8块，共8×12＝96块，
∴P＝＝
4．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
答案　
解析　B E1E2E2E1　E1 BE2E2B　E2 BE1E1B
基本大事总数为6，所含基本大事个数为2，所以所求的概率是P＝＝.

老师备选题

1．若随机从集合{2,22,23，…，210}中选出两个不同的元素a、b，则logab为整数的概率为__________．
答案　
解析　a＝2时，有9个；
a＝22时，b＝24或26或28或210，共4个；
a＝24时，b＝28有1 个；
a＝23时，b＝26或29有2个；
a＝25时，b＝210有1个；
使logab为整数的有17个，
∴概率为＝.
2．现有7名数理化成果优秀者，其中A1，A2，A3的数学成果优秀，B1，B2的物理成果优秀，C1，C2的化学成果优秀．从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛．
(1)求C1被选中的概率；
(2)求A1和B1不全被选中的概率．
解析　(1)从7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本大事为：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2， B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
C1恰被选中有6个基本大事：
(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)．
因而C1被选中的概率P＝＝.
(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一大事，则其对立大事表示“A1，B1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以大事由两个基本大事组成，所以P()＝＝，由对立大事的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
3．在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点，在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量＝＋的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________．

答案　
解析　基本大事的总数是4×4＝16，在OG＝＋中，当＝＋，＝＋，＝＋，＝＋时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余状况中的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－＝.
4．有放回的从集合{1,2,3,4,5,6}中抽取数字，记第1次抽取的数字为a，第2次抽取的数字为b，试就方程组，方程组只有一个解的概率是多少？
解析　由题意，基本大事总数n＝36.
记“方程组只有一个解”为大事A，由方程组
得；
若方程组只有一个解，则有2a－b≠0，即b≠2a；
∵b＝2a的大事有(1,2)，(2,4)，(3,6)3个，
∴P(A)＝1－＝.