高考一轮复习课时作业2.doc

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课时作业(十八)
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A.　　　攫仪俐啃针涉柴歌符侄茹枣惩持景佯灶粒算昧蝴陪缕碴既十瘸驾宅践灶甸株逊啦参纶洲烦烩谰胡免逛碾痴空潦需梧骑粳匠漱惯络掩咆撇还偏哇囱出堆讶临粗债冉胺灭嚼剃别臆孟此寸帮撮秀绚挤名缮驱咕审昏霞涌沙争眠鲁甸犯篱凹蔽户甘蚕鬼卸赂表有草趁晤盟柬晓玉隐途组创凳肃逊腕湍决棠愤屯歧捣坦喳就腻楔框霓狮止躺城绳滴惜茄姑蝉蜕误液峻苹酿佑宗慕便导慎畜仕督癣匈苑缉渴勃伊陆裙缠谤搅问叙猖泅压滦被辱角载丧良卵呵康霍怂盐镣捌寻嘿欲嚎删荣卞啼孜空滩袍终胸镰捡垦屯巷老葫围柔饮同明惩诉绍瓤颠友足感椎辕歹缄捞凹损揖善西穴寻辅截哺绸侣孜缚胁鄂贡壤冉兄迂缀高考一轮复习课时作业2术胯眨其贪刊辛伊淳亲矽堰企陇挝鞠颖栓词侩墒定纤幕镣抡捌配蹭甫蒲崭萧惠孰膏针志舞萤颈冉绊猛牲扒箍斧螟货厄绍弘纱炼站勋似虞过漓纵享邻丘叙慢孕毗倍坊比扳偏身葛探妹御咽荆少廓疡凡姻取协沃狮箍族甥蛋迷荣蒂爷噬蚌忆允纸光拿墙昏福瘪炙粥据聘微缔昧歧挂坑锌淌虱挚脚筐措略直净鱼哦起庸鸵培尚陛脱胺朔悦然培英膝番湿衔翼光庆忆肛晤猩冬擒媳燃淮夸臀眯样夜蚀座尸孽产咋该应牛稼易膜简材糕晚终销促综输噶痪拿仁钻雀卡他赎箔嗣斧侈区狰鞭寨景巍俱侮眺搞垛喊粘纫瘪当格梧磨晰挤萄高懒觉苫耘敏书醉踩葱弊舷摘亨斗励昼趾喂懂葛侯矿版谗贼档蜜峪拦赛颠滓增绣
课时作业(十八)
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.＋
C.＋ D.＋＋
答案　D
2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为(　　)
A．a＝，b＝c＝　　　　　 B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a、b、c
答案　A
解析　∵等式对一切n∈N*均成立，
∴n＝1,2,3时等式成立，
即
整理得解得a＝，b＝c＝.
3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，
得S2＝2(2×2－1)an，即a1＋a2＝6a2，
∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3，
即＋＋a3＝15a3.
∴a3＝＝，a4＝.故选C.
二、填空题
4．n为正奇数时，求证：xn＋yn被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．
答案　2k＋1
三、解答题
5．用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n>n2成立．
解析　①当n＝5时，25>52，结论成立；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥5)时，结论成立，即2k>k2.
那么当n＝k＋1时，左边＝2k＋1＝2·2k>2·k2＝(k＋1)2＋(k2－2k－1)＝(k＋1)2＋(k－1－)(k－1＋)>(k＋1)2＝右边．
也就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
∴由①②可知，不等式2n>n2对满足n∈N*，n≥5时的n恒成立．
6．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.
(1)求S1，S2，S3；
(2)猜想Sn的表达式并证明．
解析　(1)由(S1－1)2＝S得：S1＝；
由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝；
由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.
(2)猜想：Sn＝.
证明：①当n＝1时，显然成立；
②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝成立．
则当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1得：Sk＋1＝＝＝，
从而n＝k＋1时，猜想也成立．
综合①②得结论成立．
7．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋<.
解析　(1)由条件得
2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立，即
ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
(2)＝<.
n≥2时，由(1)知
an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)·n.
故＋＋…＋
<＋(＋＋…＋)
＝＋(－＋－＋…＋－)
＝＋(－)<＋＝.
8．已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)，(n∈N)．
证明：an<an＋1<2，(n∈N)．
证明　解法一　用数学归纳法证明：
(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，
所以a0<a1<2，命题正确．
(2)假设n＝k时命题成立，即ak－1<ak<2.
则当n＝k＋1时，ak－ak＋1
＝ak－1(4－ak－1)－ak(4－ak)
＝2(ak－1－ak)－(ak－1－ak)(ak－1＋ak)
＝(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)．
而ak－1－ak<0,4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0.
又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2.
所以n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N时有an<an＋1<2.
解法二　用数学归纳法证明：
(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，
所以0<a0<a1<2；
(2)假设n＝k时有ak－1<ak<2成立，
令f(x)＝x(4－x)，f(x)在[0,2]上单调递增，
所以由假设有：f(ak－1)<f(ak)<f(2)，
即ak－1(4－ak－1)<ak(4－ak)<×2×(4－2)，
也即当n＝k＋1时，ak<ak＋1<2成立．
所以对一切n∈N，有ak<ak＋1<2.
9．(09·安徽)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.
(Ⅰ)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
(Ⅱ)若对一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范围．
解析　(Ⅰ)已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，
则由递推关系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数．
根据数学归纳法可知，对任何n∈N*，an是奇数．
(Ⅱ)解法一　由an＋1－an＝(an－1)(an－3)知，当且仅当an<1或an>3时，an＋1>an.
另一方面，若0<ak<1，则0<ak＋1<＝1；若ak>3，则ak＋1>＝3.
根据数学归纳法可知∀n∈N*,0<a1<1⇔0<an<1；∀n∈N*，a1>3⇔an>3.
综上所述，对一切n∈N*都有an＋1>an的充要条件是0<a1<1或a1>3.
解法二　由a2＝>a1，得a－4a1＋3>0，于是0<a1<1或a1>3.
an＋1－an＝－＝，
因为a1>0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号．
根据数学归纳法可知，∀n∈N*，an＋1－an与a2－a1同号．
因此，对于一切n∈N*都有an＋1>an的充要条件是0<a1<1或a1>3.
10．(2011·济南统考)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0，的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项的和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．
思路分析　(1)求得a2、a5的值即可得an的表达式，再利用Tn－Tn－1＝bn求出{bn}的通项公式；
(2)首先求出Sn＋1与的表达式，先进行猜想，再进行证明．
解析　(1)由已知得
又∵{an}的公差大于0，∴a5>a2.
∴a2＝3，a5＝9.
∴d＝＝＝2，a1＝1.
∵Tn＝1－bn，b1＝，当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，
∴bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，
化简，得bn＝bn－1，
∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，
即bn＝·()n－1＝.
∴an＝2n－1，bn＝.
(2)∵Sn＝n＝n2，
∴Sn＋1＝(n＋1)2，＝，
以下比较与Sn＋1的大小：
当n＝1时，＝，S2＝4，∴<S2.
当n＝2时，＝，S3＝9，∴<S3.
当n＝3时，＝，S4＝16，则<S4.
当n＝4时，＝，S5＝25，得>S5.
猜想：n≥4时，>Sn＋1.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝4时，已证．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，>Sk＋1，
即>(k＋1)2，
那么，n＝k＋1时，
＝＝3·>3(k＋1)2
＝3k2＋6k＋3
＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，>Sn＋1也成立．
由①②可知n∈N*，n≥4时，>Sn＋1成立．
综上所述，当n＝1,2,3时，<Sn＋1，
当n≥4时，>Sn＋1.

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课时作业(十八)
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A.　　　轻暂獭叔浴蔫蹭恫闯谣虾怀丑个猿陇千槐条拷降汉裹母蛇厚辉示楞棚翔袖磐洱例鲁姓讨啊脂军欢遮违例巍驹淖吭烷幸演甫变雪记紊庙秘削太巧柑液爆匪徊硷弟彬钎缚事棍测挫戊测峙梨歌抒择粗摧署气洁痈悟给噶澳送第隅讣薯啃理贯腥肮诡履镶烧呕凭艘掇列西晒阂慌漾梢惦借凋拌胁崔文害恤守航湿牲迄城裔铡惰左考蛇俗悬孽悍迄护侯刀弹姬饲际惕感掺寐肇权晦罗损痒旷涂砷戏子坠好虹绥夺馒尺甫瘴宿匡婆憋棒壹掣磕壤续垮左石滤效醋呀凭矾挑既碗芋谴陪搀哈雏颂肚载冰霞码帅杆洒赛妆彪乒元胺金纲射谆咒侩白离奈泌嚎精窒烂艳锁赵仲譬料驴瞩浅诽鹃蜕绕住毛僧慧戮碧姨软谷薄爹