【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)阶段性测试题4(三角函数、三角恒等变形、解三角形).docx

阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·辽宁五校联考)已知cos(＋α)＝，且α∈(，)，则tanα＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C．－　 D．±
[答案]　B
[解析]　由于cos(＋α)＝，所以sinα＝－，明显α在第三象限，所以cosα＝－，故tanα＝.
2．(2021·襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　∵sin＝，cos＝－，
∴角x的终边经过点(，－)，tanx＝－，
∴x＝2kπ＋，k∈Z.
∴角x的最小正值为.
3．(文)已知tan＝2，则的值为(　　)
A．　 B．7
C．－　 D．－7
[答案]　A
[解析]　由已知得tanα＝＝－，
故＝＝.
(理)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x), f′(x)是f(x)的导函数，则sin2x＝(　　)
A．　 B．－
C．　 D．－
[答案]　C
[解析]　由f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)得
cosx＋sinx＝2sinx－2cosx，所以tanx＝3，
sin2x＝＝＝＝，故选C．
4．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝sin(2x－)　 B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(2x＋)　 D．y＝sin(＋)
[答案]　B
[解析]　∵T＝π，∴ω＝2，排解D，把x＝代入A、B、C只有B中y取得最值，故选B．
5．(文)(2021·黄山模拟)为了得到函数y＝sin(2x－)的图像，只需把函数y＝sin(2x＋)的图像(　　)
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
[答案]　B
[解析]　y＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]，
y＝sin(2x－)＝sin[2(x－)]，
∴只需将y＝sin(2x＋)向右平移＋＝个长度单位．
(理)(2021·黄山模拟)将函数y＝sin2x的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为(　　)
A．y＝sin(2x－)＋1　 B．y＝2cos2x
C．y＝2sin2x　 D．y＝－cos2x
[答案]　C
[解析]　函数y＝sin2x的图像向右平移个单位得到y＝sin2(x－)＝sin(2x－)＝－cos2x，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为
y＝－cos2x＋1＝－(1－2sin2x)＋1＝2sin2x，选C．
6.－＝(　　)
A．4　 B．2
C．－2　 D．－4
[答案]　D
[解析]　－＝－
＝＝
＝＝＝－4，选D．
7．(2022·合肥调研)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的外形确定是(　　)
A．等边三角形
B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
[答案]　D
[解析]　sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，
sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，
所以sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，
所以A＋B＝，故三角形为直角三角形．
8．(2021·河南八校联考)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个长度单位后，所得到的图像关于原点对称，则m的最小值是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　D
[解析]　y＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，向左平移m个单位得到y＝2sin(x＋m＋)，此函数为奇函数，∴m＋＝kπ，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值为.
9．(2021·济南一模)△ABC中，∠A＝30°，AB＝，BC＝1，则△ABC的面积等于(　　)
A．　 B．
C．或　 D．或
[答案]　D
[解析]　由余弦定理cosA＝，代入各值整理可得AC2－3AC＋2＝0，解得AC＝1或AC＝2三角形面积S＝AB·AC·sinA所以面积为或.
10．(2021·洛阳统考)设函数f(x)＝|cosx|＋|sinx|，下列四个结论正确的是(　　)
①f(x)是奇函数；
②f(x)的图像关于直线x＝对称；
③当x∈[0,2π]时，f(x)∈[1，]；
④当x∈[0，]时，f(x)单调递增．
A．①③　 B．②④
C．③④　 D．②③
[答案]　D
[解析]　对于①，留意到f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数，①不正确；对于②，留意到f(－x)＝|cos(－x)|＋|sin(－x)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)的图像关于直线x＝对称，②正确；对于③④，留意到f(x＋)＝|cos(x＋)|＋|sin(x＋)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)是以为周期的函数，当x∈[0，]时，f(x)＝|sinx|＋|cosx|＝sinx＋cosx＝sin(x＋)的值域是[1，]，故当x∈[0,2π]时，f(x)∈[1，]，又f()＝>1＝f()，因此f(x)在[0，]上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③，选D．
第Ⅱ卷(非选择题　共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．已知α为其次象限角，则cosα＋sinα＝________.
[答案]　0
[解析]　原式＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα，
由于α是其次象限，所以sinα>0，cosα<0，
所以cosx＋sinα＝－1＋1＝0，
即原式等于0.
12．(2022·新课标Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．
[答案]　1
[解析]　本题考查两角和正弦公式、二倍角公式，三角函数的最值的求法．
∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ
＝sinx≤1.
∴最大值为1.
13．(2021·九江模拟) 已知函数f(x)＝sin(2x＋)，其中x∈[－，α]．当α＝时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－，1]，则α的取值范围是________．
[答案]　[－，1]　[，]
[解析]　若－≤x≤，则－≤2x≤，－≤2x＋≤，此时－≤sin(2x＋)≤1，
即f(x)的值域是[－，1]．
若－≤x≤α，则－≤2x≤2α，
－≤2x＋≤2α＋.
由于当2x＋＝－或2x＋＝时，sin(2x＋)＝－，所以要使f(x)的值域是[－，1]，
则有≤2α＋≤，即≤2α≤π，
所以≤α≤，即α的取值范围是[，]．
14．△ABC中，A满足条件sinA＋cosA＝1，AB＝2cm，BC＝2cm，则A＝________，△ABC的面积等于________cm2.
[答案]　　
[解析]　由sinA＋cosA＝1得
2sin(A＋)＝1，∴A＋＝，
即A＝π，由＝得
sinC＝＝＝，
所以C＝，则B＝.
S△ABC＝AB×BCsinB＝(cm2)．
15．把函数y＝sin2x的图像沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)图像，对于函数y＝f(x)有以下四个推断：
①该函数的解析式为y＝2sin(2x＋)；
②该函数图像关于点(，0)对称；
③该函数在[0，]上是增函数；
④函数y＝f(x)＋a在[0，]上的最小值为，则a＝2.
其中，正确推断的序号是________．
[答案]　②④
[解析]　将函数向左平移得到y＝sin2(x＋)
＝sin(2x＋)，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin(2x＋)，即y＝f(x)＝2sin(2x＋)，所以①不正确．y＝f()＝2sin(2×＋)＝2sinπ＝0，所以函数图像关于点(，0)对称，所以②正确．由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z, 即函数的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，当k＝0时，增区间为[－，]，所以③不正确. y＝f(x)＋a＝2sin(2x＋)＋a，当0≤x≤时，≤2x＋≤，所以当2x＋＝时，函数值最小为y＝2sin＋a＝－＋a＝，所以a＝2，所以④正确．所以正确的命题为②④.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(文)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[解析]　(1)原式＝＋＝＋
＝＝sinθ＋cosθ.
由条件知sinθ＋cosθ＝，
故＋＝.
(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ
＝(sinθ＋cosθ)2，得1＋m＝()2，即m＝.
(3)由得或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.
(理)已知函数f(x)＝－cos2x－sinx＋1.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若f(α)＝，求cos2α的值．
[解析]　(1)由于f(x)＝－cos2x－sinx＋1
＝sin2x－sinx＝(sinx－)2－，
又sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝时，
函数f(x)的最小值为－.
(2)由(1)得(sinα－)2－＝，
所以(sinα－)2＝.
于是sinθ＝(舍)或sinα＝－.
故cos2α＝1－2sin2α＝1－2(－)2＝.
17．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝3sin2x＋2sinxcosx＋cos2x－2.
(1)求f()的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解析]　(1)依题意f(x)＝2sin2x＋sin2x－1
＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．
则f()＝sin(2×－)＝1.
(2)f(x)的最小正周期T＝＝π.
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋时，
即kπ－≤x≤kπ＋时，f(x)为增函数．
则函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(理)已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(sinx,2sinx)，函数f(x)＝a·B．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若不等式f(x)≥m对x∈[0，]都成立，求实数m的最大值．
[解析]　(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx
＝1－cos2x＋2sinxcosx
＝sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－)＋1
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin(2x－)≤1，
∴f(x)＝2sin(2x－)＋1∈[0,3]，
∴m≤0，m的最大值为0.
18．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试推断△ABC的外形．
[解析]　(1)由已知，依据正弦定理，得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bC．
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
故cosA＝－，A＝120°.
(2)由a2＝b2＋c2＋bc，得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC．
又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.
由于0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C．
所以△ABC是等腰的钝角三角形．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图像与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求函数f(x)的解析式及x0的值；
(2)若锐角θ满足cosθ＝，求f(4θ)的值．
[解析]　(1)∵由题意可得A＝2，＝2π，即T＝4π，
∴＝4π，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin(x＋φ)．
由图像经过点(0,1)得，
f(0)＝2sinφ＝1，又|φ|<，∴φ＝.
故f(x)＝2sin(x＋)．
又f(x0)＝2sin(x0＋)＝2，
∴x0＋＝2kπ＋(k∈Z)，
∴x0＝4kπ＋(k∈Z)，
依据图像可得x0是最小的正数，
∴x0＝.
(2)由(1)知，f(4θ)＝2sin(2θ＋)
＝sin2θ＋cos2θ.
∵θ∈(0，)，cosθ＝，∴sinθ＝，
∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，
∴f(4θ)＝×－＝－＝.
20．(本小题满分13分)(文)(2022·重庆高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.
(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；
(2)若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．
[解析]　(1)∵a＋b＋c＝8，a＝2，b＝，
∴c＝8－2－＝.
由余弦定理，得cosC＝＝＝－.
(2)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，可得
sinA·＋sinB·＝2sinC，
化简得：sinA＋sinB＋sin(A＋B)＝4sinC，
即sinA＋sinB＝3sinC，由正弦定理可得
a＋b＝3C．
又a＋b＋c＝8，∴a＋b＝6　 ①
又面积S＝absinC＝sinC，∴ab＝9　 ②
解①②得a＝3，b＝3.
(理)(2022·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB．
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由已知cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB得．
(1＋cos2A)－(1＋cos2B)＝sin2A－sin2B，
∴cos2A－sin2A＝cos2B－sin2B，
即sin(－＋2A)＝sin(－＋2B)，
∴－＋2A＝－＋2B或－＋2A－＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
∵a≠b，∴A＋B＝，∴∠C＝.
(2)由(1)知sinC＝，cosC＝，
∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝
由正弦定理得：＝，
又∵c＝，sinA＝.
∴a＝.
∴S△ABC＝acsinB＝.
21．(本小题满分14分)(文)已知函数g(x)＝－sinxcosx－sin2x，将其图像向左移个单位，并向上移个单位，得到函数f(x)＝acos2(x＋φ)＋b(a>0，b∈R，|φ|≤)的图像．
(1)求实数a，b，φ的值；
(2)设函数φ(x)＝g(x)－f(x)，x∈[0，]，求函数φ(x)的单调递增区间和最值．
[解析]　(1)依题意化简得g(x)＝sin(－2x)，
平移g(x)得f(x)＝sin(－2(x＋))＋
＝sin(－2x－)＋＝cos(2x＋)＋
＝cos2(x＋)
∴a＝1，b＝0，φ＝.
(2)φ(x)＝g(x)－f(x)＝sin(2x＋)－cos(2x＋)－＝sin(2x＋)－ ，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得
－＋kπ≤x≤＋kπ，(k∈Z)，由于x∈[0，]，
所以当k＝0时，在[0，]上单调增，
∴ φ(x)的单调增区间为[0，]，
值域为[－，1－]，
故φ(x)的最小值为－，最大值为1－.
(理)已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋)－.
(1)求函数f(x)的最小正周期T；
(2)若△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f(B)的最大值．
[解析]　(1)f(x)＝2cosx·sin(x＋)－
＝2cosx(sinxcos＋cosxsin)－
＝2cosx(sinx＋cosx)－
＝sinxcosx＋cos2x－
＝sin2x＋·－
＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．
∴T＝＝＝π.
(2)由余弦定理cosB＝及b2＝ac得，
cosB＝
＝－≥－＝，
∴≤cosB<1，
而 0<B<π，∴0<B≤.函数f(B)＝sin(2B＋)，
∵<2B＋≤π，
∴当2B＋＝，即B＝时，f(B)max＝1.