【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第4章-第6节-正弦定理和余弦定理.docx

第四章　第六节

一、选择题
1．(文)已知△ABC中，a＝、b＝、B＝60°，那么角A等于(　　)
A．135°　　　　　　　 B．90°
C．45°　 D．30°
[答案]　C
[解析]　由正弦定理得，＝，
sinA＝＝＝，
又∵a<b，∴A<B，故A＝45°，选C．
(理)在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．－1　 D．
[答案]　B
[解析]　解法1：由正弦定理＝得，＝，
∴sinB＝，故B＝30°或150°.
由a>b得A>B，∴B＝30°.
故C＝90°，由勾股定理得c＝2，选B．
解法2：由余弦定理知，3＝c2＋1－2ccos，
即c2－c－2＝0，∴c＝2或－1(舍去)．
2．(2022·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为(　　)
A．(，)　 B．(1，)
C．(，2)　 D．(0,2)
[答案]　A
[解析]　由＝＝，则b＝2cosA．<A＋B＝3A<π，从而<A<，又B＝2A<，
所以A<，所以有<A<，<cosA<，所以<b<.
3．(文)在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　由正弦定理得a2－c2＝(a－b)·b＝ab－b2，
由余弦定理得cosC＝＝，
∵0<C<π，∴C＝.
(理)(2021·浙江调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2B＋sin2C－sin2A＋sinBsinC＝0，则tanA的值是(　　)
A．　 B．－
C．　 D．－
[答案]　D
[解析]　依题意及正弦定理可得，b2＋c2－a2＝－bc，则由余弦定理得cosA＝＝＝－，又0<A<π，所以A＝，tanA＝tan＝－，选D．
4．(文)(2021·合肥二检)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若<cosA，则△ABC为(　　)
A．钝角三角形　 B．直角三角形
C．锐角三角形　 D．等边三角形
[答案]　A
[解析]　依题意得<cosA，sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A．
(理)(2022·东北三省三校二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　C
[解析]　∵＝＝，∴c2－b2＝ac－a2，∴a2＋c2－b2＝ac，∴2accosB＝ac，∴cosB＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.
5．(文)(2021·呼和浩特第一次统考)在△ABC中，假如sinA＝sinC，B＝30°，角B所对的边长b＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．4　　　 B．1　　　
C．　　　 D．2
[答案]　C
[解析]　据正弦定理将角化边得a＝c，再由余弦定理得c2＋(c)2－2c2cos30°＝4，解得c＝2，故S△ABC＝×2×2×sin30°＝.
(理)△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，假如a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为(　　)
A．1＋　 B．3＋
C．　 D．2＋
[答案]　C
[解析]　acsinB＝，∴ac＝2，
又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝.
6．(2022·辽宁沈阳二中期中)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinBcosC＋csinB·cosA＝b，且a>b，则∠B＝(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　A
[解析]　由于asinBcosC＋csinBcosA＝b，
所以sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，
即sin(A＋C)＝，a>b，所以A＋C＝，B＝，故选A．
二、填空题
7．(2022·弋阳一中月考)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________．
[答案]　2
[解析]　由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，
由正弦定理得＝＝2.
8．(2022·江西四校联考)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________．
[答案]　
[解析]　依题意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝(2b)2＋b2－2×2b×bcos，解得b2＝3，∴b＝.
9．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若b＝，B＝，tanC＝2，则c＝________.
[答案]　2
[解析]　⇒sin2C＝⇒sinC＝.由正弦定理，得＝，∴c＝×b＝2.
三、解答题
10．(2022·陕西理)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a、b、c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；
(2)若a、b、c成等比数列，求cosB的最小值.
[解析]　(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB．
∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，
由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立．
∴cosB的最小值为.

一、选择题
11．(文)(2021·东北三省四市二联)若满足条件AB＝，C＝的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是(　　)
A．(1，)　 B．(，)
C．(，2)　 D．(，2)
[答案]　C
[解析]　解法一：若满足条件的三角形有两个，则＝sinC<sinA<1，又由于＝＝2，故BC＝2sinA，
所以<BC<2，故选C．
解法二：由条件知，BCsin<<BC，∴<BC<2.
(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝2，且三角形有两解，则角A的取值范围是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　A
[解析]　由条件知bsinA<a，即2sinA<2，
∴sinA<，
∵a<b，∴A<B，∴A为锐角，∴0<A<.
12．(2022·长春市调研)△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的取值范围是(　　)
A．(0，]　 B．(0，]
C．[，π)　 D．[，π)
[答案]　A
[解析]　由＋≥1得：b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得：b2＋c2－a2≥bc ，同除以2bc得，≥，即cosA≥，由于0<A<π，所以0<A ≤，故选A．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc且b＝a，则△ABC不行能是(　　)
A．等腰三角形　 B．钝角三角形
C．直角三角形　 D．锐角三角形
[答案]　D
[解析]　由cosA＝＝，可得A＝，又由b＝a可得＝＝2sinB＝，可得sinB＝，得B＝或B＝，若B＝，则△ABC为直角三角形；若B＝，C＝＝A，则△ABC为钝角三角形且为等腰三角形，由此可知△ABC不行能为锐角三角形，故应选D．
14．(2022·大城一中月考)在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．　 B．
C．　 D．3
[答案]　B
[解析]　设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∵·＝|－|＝3，∴bccosA＝a＝3.又cosA＝≥1－＝1－，∴cosA≥，∴0<sinA≤，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×＝，故△ABC面积的最大值为.
二、填空题
15．(文)(2022·河南名校联考)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．
[答案]　
[解析]　∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab＝2abcos60°，∴ab＝.
(理)(2022·衡水中学5月模拟)在△ABC中，P是BC边中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC的外形为________．
[答案]　等边三角形
[解析]　∵c＋a＋b＝0，∴(a－c)＋b＋c＝0，∵P为BC的中点，∴＝－，∴(a－c)＋(b－c)＝0，∵与不共线，∴a－c＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c.
16．(文)在△ABC中，C＝60°，a、b、c分别为A、B、C的对边，则＋＝________.
[答案]　1
[解析]　∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，
∴＋＝1.
(理)(2022·吉林九校联合体联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝，AB边上的高为，则AC＋BC＝________.
[答案]　
[解析]　由条件××＝AC·BC·sin60°，
∴AC·BC＝，
由余弦定理知AC2＋BC2－3＝2AC·BC·cos60°，
∴AC2＋BC2＝3＋AC·BC，
∴(AC＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC＝3＋3AC·BC＝11，∴AC＋BC＝.
三、解答题
17．(文)(2022·安徽理)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B．
(1)求a的值；
(2)求sin(A＋)的值．
[解析]　(1)由于A＝2B，
所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
由正、余弦定理得a＝2b·，
由于b＝3，c＝1，
所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－，
由于0<A<π，所以sinA＝＝＝，
故sin(A＋)＝sinAcos＋cosAsin
＝×＋(－)×＝.
(理)(2022·浙江理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB．
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由已知cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB得．
(1＋cos2A)－(1＋cos2B)＝sin2A－sin2B，
∴cos2A－sin2A＝cos2B－sin2B，
即sin(－＋2A)＝sin(－＋2B)，
∴－＋2A＝－＋2B或－＋2A－＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，
∵a≠b，∴A＋B＝，∴∠C＝.
(2)由(1)知sinC＝，cosC＝，
∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝
由正弦定理得：＝，
又∵c＝，sinA＝.∴a＝.
∴S△ABC＝acsinB＝.
18．(文)(2022·广东五校协作体其次次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是△ABC的面积．
若a＝(2cosB,1)，b＝(－1,1)，且a∥b.
(1)求tanB＋sinB；
(2)若a＝8，S＝8，求tanA的值．
[解析]　(1)∵a∥b，∴2cosB＝－1，cosB＝－.
∵B∈(0，π)，∴B＝，
∴tanB＋sinB＝－＋＝－.
(2)S＝acsinB＝2c＝8，∴c＝4.
方法一：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝112，
∴b＝4.
再由余弦定理得cosA＝.
∵A为锐角，∴tanA＝.
方法二：由正弦定理得sinA＝2sinC．
∵B＝，∴A＋C＝，∴C＝－A．
∴sinA＝2sin(－A)，即sinA＝cosA－sinA．
∴cosA＝2sinA，∴tanA＝.
(理)(2022·福建莆田一中月考)已知a＝(2cosx＋2sinx,1)，b＝(y，cosx)，且a∥b.
(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)记f(x)的最大值为M，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f()＝M，且a＝2，求bc的最大值．
[解析]　(1)由a∥b得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，
即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1
＝2sin(2x＋)＋1，
所以f(x)＝2sin(2x＋)＋1.
又T＝＝＝π，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)易得M＝3，
于是由f()＝M＝3，即2sin(A＋)＋1＝3，得sin(A＋)＝1，
由于A为三角形的内角，故A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，解得bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，bc取最大值4.