《最高考系列》2021届高考数学总复习课时训练：第2章-函数与导数第14课时-函数的综合应用-.docx

其次章　函数与导数第14课时　函数的综合应用

1. 设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则a的取值范围是________．
答案：－1<a<
解析：由题意，f(2)＝f(－1)<－1，则<－1，解得－1<a<.
2. 若2x＋5y≤2－y＋5－x，则x＋y________0.(填“≤”或“≥”)
答案：≤
解析：由2x＋5y≤2－y＋5－x，知2x－5－x≤2－y－5y，设f(x)＝2x－5－x，不等式即为f(x)≤f(－y)，易知f(x)在R上为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0.
3. 已知函数f(x)＝e|x|，m>1，对任意的x∈[1，m]，都有f(x－2)≤ex，则最大的正整数m为________．
答案：4

解析：作出函数y1＝e|x－2|和y2＝ex的图象，如图可知x＝1时y1＝y2，又x＝4时y1＝e2＜y2＝4e，x＝5时y1＝e3＞y2＝5e，故m＜5，即m的最大整数值为4.
4. 给出下列四个结论：
① 函数y＝k·3x(k>0)的图象可由函数y＝3x的图象经过平移得到；
② 不等式>a的解集为M，且2M，则a的取值范围是；
③ 定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)·f(x)＝－1，则f(x)是周期函数；
④ 已知f(x)满足对x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋…＋f＝7.
其中正确的是________．(填序号)
答案：①③④
解析：由k·3x＝3x＋log3k (k>0)知①正确；由2M得≤a，即a≥，故②不正确；由f(x＋1)＝－得f(x＋2)＝f(x)，故③正确；由f＋f＝2得f(x)＋f(1－x)＝2且f＝1，故f＋f＋…＋f＝7正确．
5. 函数f(x)的定义域为D，若满足① f(x)在D内是单调函数，② 存在[a，b]D，使f(x)在[a，b]上的值域为[－b，－a]，那么y＝f(x)叫做对称函数，现有f(x)＝－k是对称函数，则k的取值范围是_________．
答案：
解析：由于f(x)＝－k在(－∞，2]上是减函数，所以关于x的方程－k＝－x在(－∞，2]上有两个不同实根，且k－x≥0在(－∞，2]上恒成立，通过换元结合图象可得k∈.
6. 已知函数f(x)的定义域为R，f(2)＝3，且f(x)在R上的导函数满足f′(x)－1<0，则不等式f(x2)<x2＋1的解集为________．
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：构造函数g(x)＝f(x)－x－1，则由条件知g′(x)＝f′(x)－1<0，g(2)＝0，函数g(x)＝f(x)－x－1在定义域R上单调递减，不等式f(x2)<x2＋1化为g(x2)<g(2)，所以x2>2，故不等式的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)．

7. 已知函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，当x∈(0，1)时，恒有f(x)<0成立，则函数g(x)＝loga的单调递减区间是________．
答案：
解析：当x∈(0，1)时，|x＋1|>1，但loga|x＋1|<0，故由对数函数的图象知，0<a<1.由－x2＋ax>0，解得0<x<a，即函数g(x)＝loga的定义域为.由于二次函数t＝－x2＋ax的单调递增区间为，结合函数g(x)的定义域知，函数g(x)的单调递减区间为.
8. 将函数y＝－(x∈[0，2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为________．
答案：
解析：由y＝－，得y＋＝≥0，两边平方得(x－1)2＋(y＋)2＝4(y≥－)，又x∈[0，2]，所以所给的函数的图象是圆的一段弧，画图易知，若圆弧与y轴相切，能使旋转后所得曲线仍是一个函数的图象，若与y轴相交，则不能构成函数，故最多可以逆时针旋转，即θ的最大值为.
9. 已知函数f(x)＝－x2＋|x－a|，其中a∈R.
(1) 争辩f(x)的奇偶性；
(2) 当a＝－1时，求f(x)的值域；
(3) 当a≤0时，求f(x)的最大值．
解：(1) 若a＝0，则f(－x)＝－x2＋|x|＝f(x)，即f(x)是偶函数；
若a≠0，f(－1)＝－1＋|－1－a|，f(1)＝－1＋|1－a|，
由于f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)是非奇非偶函数．
(2) 当a＝－1时，f(x)＝－x2＋|x＋1|＝当x<－1时，f(x)∈(－∞，－1)；
当x≥－1时，f(x)∈，
所以f(x)的值域为.
(3) 若x≥a，则f(x)＝－x2＋x－a＝－＋－a，在x＝处f(x)取最大值f＝－a.
若x≤a，则f(x)＝－x2－x＋a＝－＋＋a，
① 当a≤－时，[f(x)]max＝f(a)＝－a2；
② 当－≤a≤0时，[f(x)]max＝f＝＋a，
由于＋a≤－a，－a2≤－a，所以[f(x)]max＝－a.
10. 已知f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ln(x＋2)．
(1) 当x<0时，求f(x)的解析式；
(2) 当m∈R时，试比较f(m－1)与f(3－m)的大小；
(3) 求最小的整数m(m≥－2)，使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f(x＋t)≤2ln|x＋3|.
解：(1) 当x<0时，f(x)＝f(－x)＝ln(－x＋2)．
(2) 当x≥0时，f(x)＝ln(x＋2)单调递增，而f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减．
所以f(m－1)＞f(3－m)|m－1|>|3－m|(m－1)2>(3－m)2m>2.
所以当m>2时，f(m－1)>f(3－m) ；当m＝2时，f(m－1)＝f(3－m)；当m<2时，f(m－1)<f(3－m)．
(3) 当x∈R时，f(x)＝ln(|x|＋2)，则由f(x＋t)≤2ln|x＋3|，得ln(|x＋t|＋2)≤ln(x＋3)2，
即|x＋t|＋2≤(x＋3)2对x∈[m，10]恒成立，
从而有对x∈[m，10]恒成立，
由于m≥－2，所以
由于存在这样的t ，所以－m2－7m－7≤m2＋5m＋7，即m2＋6m＋7≥0.又m≥－2，所以适合题意的最小整数m＝－1.
11. 已知函数f(x)＝lnx－x，h(x)＝.
(1) 求h(x)的最大值；
(2) 若关于x的不等式xf(x)≥－2x2＋ax－12对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 若关于x的方程f(x)－x3＋2ex2－bx＝0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．
解：(1) h(x)的最大值为h(e)＝.
(2) 不等式xf(x)≥－2x2＋ax－12对一切x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤lnx＋x＋对一切x∈(0，＋∞)恒成立，
设φ(x)＝lnx＋x＋，
由于φ′(x)＝＋1－＝＝，
故φ(x)在(0，3]上递减，在[3，＋∞)上递增，
[φ(x)]min＝φ(3)＝7＋ln3，所以a≤7＋ln3.
(3) 方程f(x)－x3＋2ex2－bx＝0恰有一解，等价于＝x2－2ex＋b＋1恰有一解，由(1)知，h(x)的最大值为h(e)＝.
而函数k(x)＝x2－2ex＋b＋1在(0，e]上单调递减，在[e，＋∞)上单调递增，故[k(x)]min＝k(e)＝b＋1－e2，
故方程＝x2－2ex＋b＋1恰有一解当且仅当＝b＋1－e2，所以b＝e2＋－1.