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其次章 函数与导数第10课时 函数与方程
1. 函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a＝_________．
答案：－
解析：f(1)＝＋a＝0a＝－.
2. 用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．
答案：[2，2.5]
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(2.5)>0，f(3)>0，可知下一个有解区间为[2， 2.5]．
3. 函数y＝x＋x2－2的零点个数是________．
答案：2
解析：在同一坐标系内作出函数f(x)＝x与g(x)＝2－x2的图象，两图象有两个交点．
4. 关于x的方程 x2－(2m－8)x＋m2－16＝0的两个实数根 x1、x2 满足 x1<<x2，则实数m的取值范围是________．
答案：
解析：令f(x)＝x2－(2m－8)x＋m2－16，则f<0.
5. 已知函数f(x)＝x3＋x2＋(2a－1)x＋a2－a＋1，若f′(x)＝0在(1，3]上有解，则实数a的取值范围为_____________．
答案：[－7，－1)
解析：由题意得f′(x)＝x2＋2x＋2a－1＝0，所以a＝(－x2－2x＋1)＝－(x＋1)2＋1，当1<x≤3时，－7≤a<－1.
6. 若x0是方程ax＝logax(0<a<1)的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是_____________．
答案：a<x0<1
解析：在同一坐标系中画出函数y＝ax与y＝logax的图象，由图象知x0<1.又logax0<1＝logaa，∴ x0>a.
7. 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．
答案：2
解析：由于函数f(x)＝logax＋x－b(2<a<3)在(0，＋∞)上是增函数，由于f(2)＝loga2＋2－b<logaa＋2－b＝3－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>logaa＋3－b＝4－b>0，所以x0∈(2， 3)，即n＝2.
8. 设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1.若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)＝loga(x＋2)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
答案：(，2)
解析：由于f(x)是偶函数，所以当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，又f(x＋4)＝f (x)，知f(x)是周期为4的函数，而方程f(x)＝loga(x＋2)有3个不同的实数根，即为函数f(x)与y＝loga(x＋2)有三个不同的交点，在同一坐标系下画出两函数图象，易得a的取值范围是(，2)．
9. 已知关于x的方程32x－m·(3x＋1－1)＋2m·3x＋m－1＝0有两个不同的正实根，求m的取值范围．
解：设3x＝t(t>0)，原方程化为t2－mt＋2m－1＝0 ①，原问题等价于方程①有两个不同的根，且两根均大于1，
∴
解得m>4＋2.
10. 已知函数f(x)＝lg(kx)，g(x)＝lg(x＋1)．
(1) 求f(x)－g(x)的定义域；
(2) 若方程f(x)＝g(x)有且仅有一个实数根，求实数k的取值范围．
解：(1) 由题意得，若k>0，则定义域为(0，＋∞)；若k<0，则定义域为(－1，0)．
(2) 由f(x)＝g(x)，得＝x＋1，此方程在定义域内有且仅有一个解，考查y＝与y＝x＋1的图象，当k>0时，解得k＝4；当k<0时，恒成立，从而k的取值范围是k＝4或k<0.
11. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(b－a)x(b≠2a且ab≠0)．
(1) 求证：函数f(x)的导函数f′(x)在区间内有唯一零点；
(2) 试就a、b的不同取值状况，争辩函数f(x)的零点个数．
(1) 证明：由于f′(x)＝3ax2＋2bx＋(b－a)，
所以f′(－1)＝2a－b， f′＝－(2a－b)．
由于b≠2a，所以f′(－1)·f′＝－(2a－b)2<0，
故f′(x)在区间内有唯一零点．
(2) 由f(x)＝0，得ax3＋bx2＋(b－a)x＝0，即x＝0或ax2＋bx＋(b－a)＝0，(*)由于方程(*)的判别式Δ＝(b－2a)2>0(b≠2a)，所以方程(*)有两个相异的实根．
故当x＝0不是方程(*)的根，即a≠b时，f(x)有3个零点；
当x＝0是方程(*)的根，即a＝b时，f (x)有2个零点．
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