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第一章 章末检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2010·安徽)若集合A＝{x|logx≥}，则∁RA等于( )
A．(－∞，0]∪(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．[，＋∞)
答案 A
解析 logx≥⇔logx≥log.
⇔0<x≤.
∴∁RA＝(－∞，0]∪(，＋∞)．
2．(2010·广东)“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分必要条件
答案 A
解析 一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解⇔Δ＝1－4m≥0⇔m≤，m<⇒m≤
且m≤D/⇒m<，故选A.
3．(2010·南平一中期中)已知命题p：∀x∈R，x>sin x，则( )
A．綈p：∃x∈R，x<sin x
B．綈p：∀x∈R，x≤sin x
C．綈p：∃x∈R，x≤sin x
D．綈p：∀x∈R，x<sin x
答案 C
解析 对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论，
故选C.
4．(2010·华南师大附中期中)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1,2,4,5}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案 A
解析 由题意得A∪B＝{0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,4}，所以∁U(A∩B)＝{0,3,5}．
5．(2010·合肥一中期中)设集合M＝{x|2x2－2x<1}，N＝{x|y＝lg(4－x2)}，则( )
A．M∪N＝M B．(∁RM)∩N＝R
C．(∁RM)∩N＝∅ D．M∩N＝M
答案 D
解析 依题意，化简得M＝{x|0<x<2}，N＝{x|－2<x<2}，所以M∩N＝M.
6．(2010·西安交大附中月考)下列命题错误的是( )
A．命题“若m≤0，则方程x2＋x＋m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x＋m＝0无实数根，则m>0”
B．“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q中必有一真一假
D．对于命题p：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0
答案 C
解析 若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题．故C错．
7．(2011·威海模拟)已知命题p：无穷数列{an}的前n项和为Sn，若{an}是等差数列，则点列{(n，Sn)}在一条抛物线上；命题q：若实数m>1，则mx2＋(2m－2)x－1>0的解集为(－∞，＋∞)．对于命题p的逆否命题s与命题q的逆命题r，下列推断正确的是( )
A．s是假命题，r是真命题
B．s是真命题，r是假命题
C．s是假命题，r是假命题
D．s是真命题，r是真命题
答案 C
解析 对于命题p，当{an}为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s也是假命题；由于使mx2＋(2m－2)x－1>0的解集为(－∞，＋∞)的m不存在，故命题q的逆命题r是假命题．
8．已知命题p：关于x的不等式>m的解集为{x|x≠0，x∈R}；命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
答案 B
解析 p真⇔m<x2＋－1恒成立⇔m<1.
q真⇔5－2m>1⇔m<2.
∵p与q中一真一假，∴1≤m<2.
9．(2011·淮南月考)已知集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．∅
答案 C
解析 方法一 M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}
＝{a|a＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R}，
N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}
＝{a|a＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R}．
令(1＋3λ1 ,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
则解得λ1＝－1，λ2＝0，
∴M∩N＝{a|a＝(－2，－2)}．
方法二 设=(1，2)+λ(3，4)，λ∈R，
= (－2，－2)+λ(4，5)，λ∈R，
∴点A的轨迹方程为y－2＝(x－1)，
点B的轨迹方程为y＋2＝(x＋2)，
由①②联立解得x＝－2，y＝－2，
∴M∩N＝{(－2，－2)}．
10．设f(x)是R上的减函数，且f(0)＝3，f(3)＝－1，设P＝{x||f(x＋t)－1|<2}，
Q＝{x|f(x)<－1}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是( )
A．t≤0 B．t≥0 C．t≤－3 D．t≥－3
答案 C
解析 P＝{x||f(x＋t)－1|<2}＝{x|－1<f(x＋t)<3}＝{x|f(3)<f(x＋t)<f(0)}＝{x|0<x＋t<3}＝{x|－t<x<3－t}，
Q＝{x|x>3}，又由已知得PQ，
∴－t≥3，∴t≤－3.
11．(2011·昆明模拟)若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝，则A∩B中元素的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 A＝{x|0<x<9，x∈N*}＝{1,2，…，8}，
B＝{1,2,4}，∴A∩B＝B.
12．(2010·吉林试验中学高三月考)已知f(x)＝()x，命题p：∀x∈[0，＋∞)，f(x)≤1，则( )
A．p是假命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，f(x0)>1
B．p是假命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥1
C．p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，f(x0)>1
D．p是真命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥1
答案 C
解析 ∵f(x)＝()x是R上的减函数，
∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤f(0)＝1.
∴p为真命题，全称命题p的綈p为：∃x0∈[0，＋∞)，
f(x0)>1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2010·济南一中期中)“lg x>lg y”是“10x>10y”的________条件．
答案 充分不必要
解析 考虑对数的真数需大于零即可．
14．命题“∃x<0，有x2>0”的否定是______________．
答案 ∀x<0，有x2≤0
解析 “存在”即“∃”的否定词是“任意”即“∀”，而对“>”的否定是“≤”．
15．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则非p是非q的________条件．
答案 充分不必要
解析 ∵p：x<－3或x>1，
∴綈p：－3≤x≤1.
∵q：2<x<3，
∴綈q：x≤2或x≥3，则綈p⇒綈q.
16．(2010·江苏苏北三市高三联考)若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围为______．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 要使命题为真命题，只需Δ＝(a－1)2－4>0，
即|a－1|>2，
∴a>3或a<－1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知A＝{a＋2,2a2＋a}，若3∈A，求a的值．
解 若a＋2＝3，得a＝1.
∵a＝1时，2a2＋a＝3＝a＋2，
∴a＝1时不符合题意．(4分)
若2a2＋a＝3，
解得a＝1或a＝－.(6分)
由上面知a＝1不符合题意，
a＝－ 时，A＝{，3}，(8分)
综上，符合题意的a的值为－.(10分)
18．(12分)(2011·铁岭月考)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围．
解 P＝{x|x2－8x－20≤0}＝{x|－2≤x≤10}，
S＝{x|1－m≤x≤m＋1}．
假设存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，则必有P＝S.(6分)
所以此方程组无解．(10分)
所以不存在实数m使条件成立．(12分)
19．(12分)(2011·温州模拟)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 设A＝{x|(4x－3)2≤1}，
B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，
易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}．
(6分)
由綈p是綈q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，
∴(10分)
故所求实数a的取值范围是[0，]．(12分)
20．(12分)已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：
不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
解 由命题p，得a>1，对于命题q，
因x∈R，ax2－ax＋1>0恒成立，
又因a>0，所以Δ＝a2－4a<0，
即0<a<4.由题意知p与q一真一假，(6分)
当p真q假时 ，
所以a≥4.(8分)
当p假q真时，即0<a≤1.(10分)
综上可知，a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．
(12分)
21．(12分)(2011·温州模拟)已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数；命题q：
当x∈[，2]时，函数f(x)＝x＋>恒成立，假如p∨q为真命题，p∧q为假命题，
求c的取值范围．
解 ∵函数y＝cx为减函数，
∴0<c<1，即p真时，0<c<1.(2分)
函数f(x)＝x＋>对∈[，2]恒成立，
f(x)min＝2＝2，
当x＝，即x＝1∈[，2]时，有<2，得c>，即q真时，c>.(5分)
∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．(7分)
①p真q假时，0<c≤；(9分)
②p假q真时，c≥1.(11分)
故c的取值范围为0<c≤或c≥1.(12分)
22．(14分)(2011·沈阳模拟)已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问同时满足BA，A∪C＝A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b；若不存在，请说明理由．
解 ∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{2,1}，
B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}
＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，
又∵BA，∴a－1＝1，∴a＝2.(4分)
∵A∪C＝A，∴C⊆A，则C中元素有以下三种状况：
①若C＝∅，即方程x2－bx＋2＝0无实根，
∴Δ＝b2－8<0，∴－2<b<2，(7分)
②若C＝{1}或{2}，即方程x2－bx＋2＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝b2－8＝0，∴b＝±2，此时C＝{}或{－}不符合题意，舍去．(9分)
③若C＝{1,2}，则b＝1＋2＝3，而两根之积恰好为2.(11分)
综上所述，a＝2，b＝3或－2<b<2.(12分)
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