2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第7章-第2讲--一元二次不等式及其解法.docx

第2讲 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式≤0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(－1,2]　　　　 B．(－1,2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．[－1,2]
解析 ∵≤0⇔⇔
∴x∈(－1,2]．
答案 B
2. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
解析 由于集合,所以,选B.
答案 B
3．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c＝ (　　)．
A．1∶2∶3 B．2∶1∶3
C．3∶1∶2 D．3∶2∶1
解析　∵－c<ax＋b<c，又a>0，∴－<x<.
∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，
∴∴
∴a∶b∶c＝a∶∶＝2∶1∶3.
答案　B
4．不等式(x2－2)log2x>0的解集是 (　　)．
A．(0,1)∪(，＋∞) B．(－，1)∪(，＋∞)
C．(，＋∞) D．(－，)
解析　原不等式等价于或
∴x>或0<x<1，即不等式的解集为(0,1)∪(，＋∞)．
答案　A
5．已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为 (　　)．
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(0,1)
解析　∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，
又f(x)在(－2，－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)<0，
∴(6a＋5)(2a＋3)<0，∴－<a<－，又a∈Z，
∴a＝－1，不等式f(x)>1即为－x2－x>0，
解得－1<x<0.
答案　C
6．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(　　)．
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1]
C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞)
解析　当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故其对称轴为x＝－＝－2，∴b＝4.又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，当x≤0时，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，f(x)＝－2≤1明显成立，故不等式的解集为
[－3，－1]∪(0，＋∞)．
答案　C
二、填空题
7．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．
解析　由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．
答案　(－2,3)
8．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．
解析　由函数f(x)的图象可知(如下图)，满足f(1－x2)＞f(2x)分两种状况：

①⇒0≤x＜－1.
②⇒－1＜x＜0.
综上可知：－1＜x＜－1.
答案　(－1，－1)
9．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．
解析　依题意，f(x)的对称轴为x＝1，且开口向下，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)是增函数．
若f(x)>0恒成立，则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1>0，即b2－b－2>0，∴(b－2)(b＋1)>0，∴b>2或b<－1.
答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)
10．设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.
解析　明显a＝1不能使原不等式对x>0恒成立，故a≠1且当x1＝，a≠1时原不等式成立．对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x2<x3，易知x2<0，x3>0.当x>0时，原不等式恒成立，故x1＝满足方程x2－ax－1＝0，代入解得a＝或a＝0(舍去)．
答案　
三、解答题
11．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．
解　(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．
(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a>0，且0<x<m<n<，∴x－m<0,1－an＋ax>0.
∴f(x)－m<0，即f(x)<m.
12．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解　(1)由于不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.
由根与系数的关系，得解得
(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.
综上所述：当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}；
当c＝2时，不等式的解集为∅.
13．已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．
(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．
解　(1)依据题意，m≠1且Δ>0，
即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，
所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的条件下，
由于＋＝＝m－2，
所以＋＝2－
＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.
得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.
所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}．
14．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a＞0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求全部的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
注　e为自然对数的底数．
解　(1)由于f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝－.
由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.
由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2，对x∈[1，e]恒成立，
只要解得a＝e.