2021高考数学(文理通用)一轮课时作业26-等差数列及其前n项和.docx

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课时提升作业(二十六)
等差数列及其前n项和
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·嘉兴模拟)设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=(　　)
A.18 B.20 C.22 D.24
【解析】选B.由S10=S11可知a11=S11-S10=0,所以a1+(11-1)d=0,即a1+10×(-2)=0,解得a1=20.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　)
A.63 B.45 C.36 D.27
【思路点拨】利用S3,S6-S3,S9-S6也成等差数列求解.
【解析】选B.由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.
【误区警示】误认为Sm,S2m,S3m成等差数列而导致出错.
3.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=(　　)
A.138 B.135 C.95 D.23
【解析】选C.设公差为d,
由于a2+a4=4,a3+a5=10,
所以(a5-a4)+(a3-a2)=2d=6,所以d=3.
又a2+a4=2a1+4d=4,所以a1=-4.
所以S10=10a1+10×(10-1)2d=-40+45×3=95.
4.(2022·北京模拟)在等差数列{an}中,a2+a6=32π,则sin2a4-π3=(　　)
A.32 B.12 C.-32 D.-12
【解析】选D.在等差数列{an}中,a2+a6=32π=2a4,则sin2a4-π3=-12.
5.一个等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为3227,则公差d=(　　)
A.5 B.6 C.10 D.12
【解析】选A.由题意可知S偶+S奇=354,S偶S奇=3227,解得S偶=192,S奇=162.
又由等差数列的性质,可得S偶-S奇=6d,即192-162=6d,解得d=5.
6.(2022·台州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a11-a8=3,S11-S8=3,则使an>0的最小正整数n的值是(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
【解析】选C.由于a11-a8=3d=3,所以d=1,由于S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,所以a1=-8,所以an=-8+(n-1)>0,解得n>9,因此使an>0的最小正整数n的值是10.故选C.
7.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项的和,则有(　　)
A.S4=S5 B.S4<S5 C.S6=S5 D.S6<S5
【解析】选A.据题意可知a2+a8=2a5=0⇒a5=0,故S4=S4+a5=S5.
8.(2022·杭州模拟)等差数列{an}中,ana2n是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为(　　)
A.{1} B.1,12
C.12 D.0,12,1
【解析】选B.等差数列{an}中,设ana2n=a1+(n-1)da1+(2n-1)d是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立,故2md-d=0,(m-1)a1+(1-m)d=0,由第一个方程得d=0或者m=12.若d=0,代入其次个方程可得m=1(由于a1≠0);若m=12,代入其次个方程得d=a1.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2021·重庆高考)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=　　　　　.
【思路点拨】可依据等差数列的性质直接求解.
【解析】由于2,a,b,c,9成等差数列,所以公差
d=9-24=74,c-a=2d=72.
答案:72
10.(2022·丽水模拟)设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a22+a32=a42+a52,则S6=　　　　　　.
【解析】设等差数列的公差为d(d≠0),
由a22+a32=a42+a52可得a52-a32+a42-a22=0,
即2d(a5+a3)+2d(a4+a2)=0,
即a5+a3+a4+a2=0,
由等差数列的性质可得2a4+2a3=0,
即a4+a3=0,又a1+a6=a4+a3=0,
故S6=6(a1+a6)2=0.
答案:0
11.数列{an}中,a3=2,a7=1且数列1an+1是等差数列,则a11=　　　　.
【解析】由已知可得1a3+1=13,1a7+1=12,于是得1a11+1=2×1a7+1-1a3+1=2×12-13=23,解得a11=12.
答案:12
【加固训练】项数大于3的等差数列{an}中,各项均不为零,公差为1,且1a1a2+1a2a3+1a1a3=1,则其通项公式为　　　　.
【解析】由于1a1a2+1a2a3+1a1a3=1,
所以1a1-1a2+1a2-1a3+121a1-1a3=1.
所以3a1-3a3=2,所以a12+2a1-3=0,
解得a1=1或a1=-3(舍).
所以an=1+(n-1)×1=n.
答案:an=n(n∈N*)
12.(力气挑战题)已知{an}为等差数列,若a11a10<-1,且它的前n项和Sn有最大值,当Sn取得最小正值时,n的值等于　　　　.
【解析】由已知得,{an}是首项为正,公差为负的递减等差数列,由a11a10<-1得a10+a11<0且a10>0,a11<0,所以S20=20(a1+a20)2=20(a10+a11)2=10(a10+a11)<0,而S19=19a10>0,所以Sn取得最小正值时n=19.
答案:19
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2021·大纲版全国卷)等差数列an中,a7=4,a19=2a9,
(1)求an的通项公式.
(2)设bn=1nan,求数列bn的前n项和Sn.
【思路点拨】(1)依据条件中给出的特殊项求出等差数列的首项和公差,再依据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d求出an的通项公式.
(2)将(1)中an的通项公式代入到bn=1nan中,接受裂项相消法求和.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
由于a7=4,a19=2a9,所以a1+6d=4,a1+18d=2(a1+8d),解得a1=1,d=12.
所以an的通项公式为an=n+12.
(2)由于bn=1nan=2n(n+1)=21n-1n+1,
所以Sn=21-12+12-13+…+1n-1n+1=2nn+1.
14.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15.
(1)求Sn.
(2)当n为何值时,Sn有最大值?并求出它的最大值.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d.
由于a1=20,S10=S15,
所以10×20+10×92d=15×20+15×142d.
解得d=-53,
所以Sn=n×20+n×(n-1)2×-53=-56n2+1256n.
(2)由(1)中Sn,配方得Sn=-56n-2522+3 12524.
由于n∈N*,而252=12.5,
所以n=12或n=13时,Sn有最大值.
最大值为S12=S13=130.
【一题多解】本题第(2)问还可用下面两种解法:
方法一:由(1)知d=-53,所以an=20+(n-1)×-53=-53n+653.
令an≥0解得n≤13,即当n≤12时,an>0,a13=0,n≥14时an<0,所以当n=12或n=13时Sn取得最大值,且最大值为S12=S13=12×20+12×112×-53=130.
方法二:由(1)知d=-53<0.
又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0,
从而5a13=0,即a13=0,
所以当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
【方法技巧】求等差数列前n项和最值的常用方法
(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值.
(2)公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数,利用二次函数的性质求最值.
15.(力气挑战题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-14an,其中n∈N*.
(1)设bn=22an-1,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式an.
(2)设cn=4ann+1,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<1cmcm+1对于n∈N*恒成立,若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)bn+1-bn=22an+1-1-22an-1=221-14an-1-22an-1=4an2an-1-22an-1=2,所以数列{bn}是等差数列,a1=1,b1=2,因此bn=2+(n-1)×2=2n,由bn=22an-1得an=n+12n.
(2)cn=2n,cncn+2=4n(n+2)=21n-1n+2,
所以Tn=21+12-1n+1-1n+2<3,
依题意要使Tn<1cmcm+1对于n∈N*恒成立,只需m(m+1)4≥3,
解得m≥3或m≤-4,又由于m为正整数,所以存在符合题意的m,m的最小值为3.
【加固训练】数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),已知a3=95.
(1)求a1,a2.
(2)是否存在一个实数t,使得bn=13n(an+t)(n∈N*),且{bn}为等差数列?若存在,则求出t的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)n=2时,a2=3a1+32-1.
n=3时,a3=3a2+33-1=95,所以a2=23,
所以23=3a1+8,所以a1=5.
(2)当n≥2时,
bn-bn-1=13n(an+t)-13n-1(an-1+t)
=13n(an+t-3an-1-3t)
=13n(3n-1-2t)=1-1+2t3n,
要使{bn}为等差数列,则必需使1+2t=0,
所以t=-12,即存在t=-12,使{bn}为等差数列.
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