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2022届高考数学一轮复习 第六章 6.2 等差数列及其前n项和课时作业

2022届高考数学一轮复习 第六章 6.2 等差数列及其前n项和课时作业

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姓名：

课时作业30　等差数列及其前n项和
[基础达标]
一、选择题
1．[2021·唐山市高三年级摸底考试]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a5＝－2，S15＝150，则公差d＝(　　)
A．6B．5
C．4D．3
2．[2021·山东泰安一中月考]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S5＝25，则a8＝(　　)
A．16B．15
C．14D．13
3．[2021·北京市适应性测试]设{an}是等差数列，且公差不为零，其前n项和为Sn，则“∀n∈N*，Sn＋1＞Sn”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为(　　)
A．1.5尺B．2.5尺
C．3.5尺D．4.5尺
5．[2021·大同市高三学情调研测试试题]若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，且＜－1，则Sn取正值时项数n的最大值为(　　)
A．15B．17
C．19D．21
二、填空题
6．[2021·惠州市高三调研考试试题]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a5＝25，S6＝57，则{an}的公差为________．
7．[2021·陕西西安质检]公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中第________项的值与4a5的值相等．
8．[2021·江苏常州月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝8，则S9＝________.
三、解答题
9．[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

10．[2021·合肥教学检测]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S4＝4S2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求m的值．

[能力挑战]
11．[2021·山东菏泽一中月考]已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为(　　)
A．10B．20
C．30D．40
12．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]已知等差数列{an}的通项公式为an＝26－tn(t∈R)，且当数列{an}的前n项和Sn取得最大值时，n＝12或13，则当Sk＝150时，k＝(　　)
A．10B．25
C．10或15D．15或25
13．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]已知首项均为的等差数列{an}与等比数列{bn}，若a3＝－b2，a4＝b3，数列{an}的各项均不相等，且Sn为数列{bn}的前n项和，则的最大值与最小值差的绝对值为(　　)
A.B.
C.D.

课时作业30
1．解析：通解　因为数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
所以，
解得，故选C.
优解　因为数列{an}是等差数列，所以S15＝15a8＝150，所以a8＝10，所以3d＝a8－a5＝10－(－2)＝12，d＝4，故选C.
答案：C
2．解析：设公差为d，由a2＝3，S5＝25可得a1＋d＝3,5a1＋d＝25，解得a1＝1，d＝2，则a8＝a1＋7d＝15.故选B.
答案：B
3．解析：由∀n∈N*，Sn＋1＞Sn得an＋1＝Sn＋1－Sn＞0，又数列{an}是公差不为零的等差数列，因此公差d＞0，(若d＜0，等差数列{an}中从某项起以后各项均为负，这与an＋1＞0矛盾)，数列{an}是递增数列，所以“∀n∈N*，Sn＋1＞Sn”是“{an}为递增数列”的充分条件．反过来，由“{an}为递增数列”不能得知∀n∈N*，Sn＋1＞Sn”，如取an＝n－3，此时数列{an}为递增数列，但a2＝－1＜0，即有S2＜S1因此“∀n∈N*，Sn＋1>Sn”不是“{an}为递增数列”的必要条件．综上所述，“∀n∈N*，Sn＋1＞Sn”是“{an}为递增数列”的充分而不必要条件，选A.
答案：A
4．解析：设这十二个节气的日影长构成等差数列{an}，由题意可知，a1＋a4＋a7＝31.5，a1＋a2＋…＋a9＝85.5，求a10.设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，得a4＝10.5，由a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝85.5，得a5＝9.5，则d＝a5－a4＝－1，则a10＝a5＋5d＝4.5，故选D.
答案：D
5．解析：由等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，且＜－1，可知等差数列{an}的公差d＜0，a10＞0，a11<0，且a11<－a10，则a10＋a11<0.由a10>0，得2a10＝a1＋a19＞0，所以S19＞0，由a10＋a11＜0，得a1＋a20＝a10＋a11＜0，所以S20＜0，所以Sn取正值时项数n的最大值为19，故选C.
答案：C
6．解析：通解　设{an}的公差为d.因为a4＋a5＝25，S6＝57，所以解得，所以{an}的公差为3.
优解　设{an}的公差为d，因为S6＝＝3(a3＋a4)＝57，所以a3＋a4＝19，a4＋a5－(a3＋a4)＝2d＝25－19＝6，所以d＝3.
答案：3
7．解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝2a5，所以a1＋6d＝2(a1＋4d)，解得a1＝－2d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，而4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11，故数列{an}中第11项的值与4a5的值相等．
答案：11
8．解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a3＋a10＝8，∴3a1＋12d＝8，∴a1＋4d＝a5＝，∴S9＝9a5＝24.
答案：24
9．解析：(1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，
故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知d<0，
故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，
解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
10．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1.又a1＝1，∴d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．
(2)am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化为10am＋45d＝20m＋80＝180，解得m＝5.
11．解析：设等差数列{an}的公差为d，项数为n，前n项和为Sn.因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.
答案：B
12．解析：由题意知a12＞0，a13＝0，所以26－13t＝0，解得t＝2，所以an＝26－2n，由Sk＝＝150，解得k＝10或k＝15，故选C.
答案：C
13．解析：设{an}的公差为d(d≠0)，{bn}的公比为q，则，得，所以Sn＝1－(－)n.令t＝，则t＝Sn－，易得Sn＞0，且t随着Sn的增大而增大．当n为奇数时，Sn＝1＋()n递减，则Sn∈，t∈；当n为偶数时，Sn＝1－n递增，Sn∈，t∈.所以tmin＝－，tmax＝，即的最大值为，最小值为－，所以的最大值与最小值差的绝对值为－＝，故选A.
答案：A