正方形的性质和判定省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

19.3 19.3 正方形正方形第1页世界数学大会会标第2页 创设情景创设情景情景一情景一问题问题:从这个图形中你想到了什么？从这个图形中你想到了什么？第3页邻边相等邻边相等矩形矩形想一想：正方形是怎样矩形？想一想：正方形是怎样矩形？矩形矩形正方形正方形第4页A AB BC CD DA AB B情景二情景二当当当当CDCD移动到移动到移动到移动到 位置，且位置，且位置，且位置，且 时，此时，此时，此时，此时图形还是矩形吗？时图形还是矩形吗？时图形还是矩形吗？时图形还是矩形吗？图中图中图中图中CDCDCDCD在移动时，这个图形一直是怎样图形？在移动时，这个图形一直是怎样图形？在移动时，这个图形一直是怎样图形？在移动时，这个图形一直是怎样图形？（CDCDCDCD在移动过程中一直保持与在移动过程中一直保持与在移动过程中一直保持与在移动过程中一直保持与ABABABAB平行）平行）平行）平行）第5页菱形菱形正方形正方形一个角是直角菱形一个角是直角菱形想一想：正方形是怎样菱形？想一想：正方形是怎样菱形？第6页两组两组对边对边分别分别平行平行有一个角有一个角是直角是直角有一组邻有一组邻边相等边相等四边形四边形平行四平行四边形边形矩形矩形菱菱形形第7页平行四边形平行四边形正方形正方形矩形矩形菱形菱形一组邻边相一组邻边相等等一组邻边相一组邻边相等等一内角是直一内角是直角角一内角是直一内角是直角角平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角定义：定义：一组一组邻边相等邻边相等，且有，且有一个角是直角一个角是直角平行四边形平行四边形叫做叫做正方形正方形第8页菱形菱形矩形矩形平行四边形平行四边形正正形形方方平行四边形，矩形，菱形，正方形关系平行四边形，矩形，菱形，正方形关系 正方形是特殊平行四边形，也是特殊矩形，正方形是特殊平行四边形，也是特殊矩形，也是特殊菱形。也是特殊菱形。第9页第10页对角线：对角线：相等相等 相互垂直平分相互垂直平分 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。边边:对边平行对边平行 四边相等四边相等角角：四个角都是直角四个角都是直角图形对称性：图形对称性：既是轴对称图形既是轴对称图形,又是中心对称图形又是中心对称图形.第11页 你以为什么样四边形是正你以为什么样四边形是正方形呢方形呢?(?(判断一个四边形是判断一个四边形是正方形有哪些方法？）正方形有哪些方法？）第12页平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角1 1、正方形正方形菱形菱形 2 2、一内角是直角一内角是直角矩形矩形3 3、一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形正方形判定方法：正方形判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法定义法菱形法菱形法矩形法矩形法第13页四条边相等，四个角都是直角四条边相等，四个角都是直角对角线相互垂直、平分且相等对角线相互垂直、平分且相等四边形四边形正方形正方形以四边形为基础：以四边形为基础：既是菱形又是矩形四边形是正方形既是菱形又是矩形四边形是正方形。第14页已知：如图正方形已知：如图正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O。求证：求证：ABO BCO CDO ADOABO BCO CDO ADO 例例1 1、求证：正方形两条对角线把正方形分成四个求证：正方形两条对角线把正方形分成四个 全等等腰直角三角形。全等等腰直角三角形。第15页(1)(1)正方形一条对角线把正方形分成两个全等正方形一条对角线把正方形分成两个全等 等腰直角三角形（等腰直角三角形（）(2)(2)对角线相互垂直且相等四边形是正方形（对角线相互垂直且相等四边形是正方形（）(3)(3)假如一个菱形对角线相等，那么它一定假如一个菱形对角线相等，那么它一定 是正方形是正方形 （）(4)(4)假如一个矩形对角线相互垂直，那么它假如一个矩形对角线相互垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （）(5)(5)四条边相等，且有一个角是直角四边形四条边相等，且有一个角是直角四边形 是正方形（是正方形（）1、判断题、判断题:第16页（6）正方形一定是矩形（）正方形一定是矩形（）（7）正方形一定是菱形（）正方形一定是菱形（）（8）菱形一定是正方形（）菱形一定是正方形（）（9）矩形一定是正方形（）矩形一定是正方形（）(10)正正方方形形、矩矩形形、菱菱形形都都是是平平行行四四边边形形 （）（12）正方形是轴对称图形）正方形是轴对称图形,一共有一共有2条对称轴条对称轴()(13)四个角都相等四边形是正方形四个角都相等四边形是正方形 ()(14)四条边都相等四边形是正方形四条边都相等四边形是正方形 ()第17页（1）正方形含有而矩形不一定含有性质是（）正方形含有而矩形不一定含有性质是（）A、四个角相等、四个角相等.B、对角线相互垂直平分、对角线相互垂直平分.C、对角互补、对角互补.D、对角线相等、对角线相等.（2）正方形含有而菱形不一定含有性质（）正方形含有而菱形不一定含有性质（）A、四条边相等、四条边相等.B、对角线相互垂直平分、对角线相互垂直平分.C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角.D、对角线相等、对角线相等.BD2、选择题、选择题:第18页（3）以下命题正确是（）以下命题正确是（）A、四个角都相等四边形是正方形、四个角都相等四边形是正方形 B、四条边都相等四边形是正方形、四条边都相等四边形是正方形 C、对角线相等平行四边形是正方形、对角线相等平行四边形是正方形 D、对角线相互垂直矩形是正方形、对角线相互垂直矩形是正方形D第19页（4）四个内角都相等四边形一定是（）四个内角都相等四边形一定是（）A、正方形、正方形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D平行四边形平行四边形（5）在四边形）在四边形ABCD中，中，O是对角线交点，是对角线交点，能判定这个四边形是正方形是（能判定这个四边形是正方形是（）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA第20页（6）四个内角都相等，四条边也都相）四个内角都相等，四条边也都相等四边形一定是：（等四边形一定是：（）A正方形正方形 B菱形菱形 C矩形矩形 D平行四边形平行四边形A第21页（1 1）如图：正方形如图：正方形ABCDABCD周长为周长为15cm15cm，则矩，则矩形形EFCGEFCG周长为周长为 cmcm。ABCDEGF7.57.53 3、填一、填一填填第22页（2 2）已知：正方形已知：正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD相相交于点交于点O O，且，且ABAB2cm2cm，则，则AC=AC=,正方形面积正方形面积S=_.S=_.224 46 63636（3 3）已知：在正方形已知：在正方形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，且，且ACAC6 cm6 cm，面积面积S=S=_.则边长则边长ABAB_,第23页4 4、思索题：、思索题：如图正方形如图正方形ABCDABCD对角线相交于点对角线相交于点O O，O O又是另一个正方形又是另一个正方形OEFGOEFG一个顶点，若正方形一个顶点，若正方形OEFGOEFG绕点绕点O O旋转，在旋转过程中旋转，在旋转过程中.探究二探究二:若正方形若正方形OEFGOEFG与正方形与正方形ABCDABCD两边两边分别相交于分别相交于MNMN，试判断线段，试判断线段AMAM于于BNBN之间之间关系关系.探究一探究一:两个正方形重合部分面积是否会发两个正方形重合部分面积是否会发生改变？并说明理由。生改变？并说明理由。第24页5 5、已知四边形、已知四边形ABCDABCD是平行四边形，对角线是平行四边形，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O。若若AB=BC，则四边形，则四边形ABCD是（是（）若若AC=BD，则四边形，则四边形ABCD是（是（）若若BCD=900，则四边形，则四边形ABCD是（是（）若若OA=OB，则四边形，则四边形ABCD是（是（）若若AB=BC，且，且AC=BD，则四边形，则四边形ABCD是是 （）菱形菱形矩形矩形矩形矩形矩形矩形正方形正方形第25页6、如图，在正方形、如图，在正方形ABCD中，点中，点E在对角在对角线线AC上，那么，上，那么，BE和和DE相等吗？为何？相等吗？为何？ABCDE解：解：BE=DE.因为因为 对角线对角线AC所在直线所在直线是正方形是正方形ABCD对称轴，对称轴，而点而点E在对称轴上，点在对称轴上，点B为点为点D关于关于AC对称点，对称点，所以所以 BE=DE第26页例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O，分析：分析：要证实要证实BMCN，大家观察，大家观察图形能够考虑证哪两个三角形全等图形能够考虑证哪两个三角形全等?MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。你能完成证实吗你能完成证实吗?ABBC，1245 条件够吗？条件够吗？还需要条件是还需要条件是 AMBN(AO=BO,MO=NO?)ABMBCN你所要证实两个三角形已经满足你所要证实两个三角形已经满足了哪些条件了哪些条件?由正方形能够得到条件有：由正方形能够得到条件有：第27页例例2 2、如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，ACAC、BDBD相交于相交于O O，MNABMNAB且且MNMN分别交分别交OAOA、OBOB于于M M、N N，求证：，求证：BMBMCNCN。证实：证实：OAOAOMOMOBOBONONOMOMONONOMNOMN1 13 3ONMONM4545又又MNABMNAB112 23 34545OAOAOB AB=BCOB AB=BC四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形即：即：AM=BNAM=BNABMBCNABMBCNBM=CNBM=CN第28页例例3 3、直角三角形直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB。求证：四边形求证：四边形CEDFCEDF是正方形。是正方形。ABCDEF四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形（)DE=DF()DE=DF()DEACDEAC，DFBCDFBC CD CD平分平分ACBACB 四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形()()而而ACB=90ACB=90 DEC=90 DEC=90，DFC=90DFC=90证实：证实：DEACDEAC，DFABDFAB有三个角是直角四边形是矩形有三个角是直角四边形是矩形角平分线定理角平分线定理有一组邻边相等矩形是正方形有一组邻边相等矩形是正方形第29页例例4已知：如图已知：如图(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线 上一点，上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：求证：MFD45分析：分析：欲证欲证MFD45,因为因为MDF是直角三角形是直角三角形,只须证只须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等，大家只须证得哪两个三角形全等?CMDADF第30页例例4 4、已知：如图、已知：如图(4)(4)在正方形在正方形ABCDABCD中，中，F F为为CDCD延长线上一延长线上一点，点，CEAFCEAF于于E E，交，交ADAD于于M M，求证：求证：MFDMFD4545证实：证实：DM=DFDM=DFRtCDMRtADFRtCDMRtADF(AAS)(AAS)又又CDCDADAD，ADFADFMDC=90MDC=90112 2CMDCMDAMEAMEADCADCAEMAEM9090CEAF CEAF 四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形MFDMFD4545第31页7 7、如图，在、如图，在ABAB上取一点上取一点C C，以，以ACAC、BCBC为正方形为正方形一边在同一侧作正方形一边在同一侧作正方形AEDCAEDC和和BCFGBCFG连结连结AFAF、BDBD延长延长BDBD交交AFAF于于H H。求证：求证：(1)ACFDCB (2)BHAF(1)ACFDCB (2)BHAF 第32页8 8、如图、如图(6)(6)，ABCABC外面作正方形外面作正方形ABDEABDE和和ACFGACFG，连结，连结BGBG、CECE，交点为，交点为N N。求证：求证：CEACEAABGABG 证实：证实：四边形四边形ABDEABDE和四边形和四边形ACFGACFG是正方形。是正方形。AEAEABABAGAGACAC1 12 29090又又EACEAC1 1BACBAC9090BACBACBAGBAG2 2BACBAC9090BACBAC EACEACBAGBAG AECABGAECABG(SAS)(SAS)CEACEAABGABG第33页9 9、在正方形中，点、在正方形中，点，分别在分别在，上，且，上，且 .四边形四边形 是正方形吗？为何？是正方形吗？为何？DCBADCBAA AB BC CD DE EF FG G1010、如图，点、如图，点E E、F F在正方形在正方形ABCDABCD边边BCBC、CDCD上，上，BE=CFBE=CF，探索图中，探索图中AEAE与与BFBF关系。关系。第34页ABDCFE1111、如图，在正方形、如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E在在BCBC延长线上，且延长线上，且CE=ACCE=AC，AEAE交交CDCD于于F F，则求，则求AFCAFC度数。度数。第35页1212、在、在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC中点中点,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条件,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形.请你最少写出两种不一样添加方法请你最少写出两种不一样添加方法.(.(不另外不另外添加辅助线添加辅助线,无需证实无需证实)第36页1 1、在一块正方形花坛上，欲修建两条直小路，、在一块正方形花坛上，欲修建两条直小路，使得两条直小路将花坛平均分成面积相等四部分使得两条直小路将花坛平均分成面积相等四部分（不考虑道路宽度），你有几个方法？（最少说（不考虑道路宽度），你有几个方法？（最少说出三种）出三种）课外拓展：课外拓展：第37页 2、怎样设计花坛？怎样设计花坛？在一块正方形花坛上，欲修建两条直小在一块正方形花坛上，欲修建两条直小路，使得两条直小路将花坛平均分成面路，使得两条直小路将花坛平均分成面积相等四部分（不考虑道路宽度），你积相等四部分（不考虑道路宽度），你有几个方法？（最少说出三种）有几个方法？（最少说出三种）请你当设计师请你当设计师第38页3、已知：正方形已知：正方形ABCD对角线对角线AC、BD相相交于点交于点O，且，且AB2cm，如图，如图(2)。求：求：AC长及正方形面积长及正方形面积S。EFG矩形矩形EFCGEFCG周长。周长。第39页4 4、已知：如图矩形、已知：如图矩形ABCD,ABCD,对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，AEAE平分平分BADBAD交交BCBC于于点点E E，连接，连接OEOE，若，若EAO=15EAO=150 0，求，求BOEBOE度数。度数。OABCDE第40页5 5、在正方形、在正方形ABCDABCD中，中，AC=10AC=10，P P是是ABAB上任意一点，上任意一点，PEACPEAC于点于点E E，PFBDPFBD于点于点F F，求，求PE+PFPE+PF值。值。ABCDEPF第41页6、如图，正方形如图，正方形ABCDABCD边长为边长为8 8，M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一个动上一个动点，求点，求DN+MNDN+MN最小值。最小值。ABCDMN第42页7、如图，正方形如图，正方形ABCDABCD边长为边长为8 8，M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一个动上一个动点，求点，求DN+MNDN+MN最小值。最小值。ABCDMN第43页8 8、已知，如图在、已知，如图在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM平分线，平分线，CEANCEAN垂足为点垂足为点E E，求证：四边形求证：四边形ADCEADCE是矩形。是矩形。当当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 ADCEADCE是正方形，说明理由。是正方形，说明理由。ABCEMND第44页9、如图、如图B、C、E是同一直线上三个点，四边是同一直线上三个点，四边形形ABCD与与CEFG是正方形，连接是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜测）观察、猜测BG与与DE之间大小关系，并之间大小关系，并说明理由。说明理由。（2）正方形）正方形CEFG在绕点在绕点C旋转过程中，旋转过程中，BG与与DE之间关系是否依然成立。之间关系是否依然成立。ABCEFDGADBGFEC第45页10、如图，、如图，M为正方形为正方形ABCD边边AB中点，中点，E是是AB延长线上一点，延长线上一点，MN DM，且交，且交CBE平分平分线于点线于点N。（1）求证：）求证：MD=MN（2）若将上述条件中）若将上述条件中“M是是AB中点中点”改为改为“M为为AB上任意一点上任意一点”，其它条件不变，问结论，其它条件不变，问结论MD=MN是否依然成立。是否依然成立。ABCDMENFABCDENMP第46页探究四：探究四：如图，有两个大小不等两个正如图，有两个大小不等两个正 方形，方形，其中小正方形面积是大正方形面积二分之一，其中小正方形面积是大正方形面积二分之一，若阴影部分面积为若阴影部分面积为8 8，则小正方形边长为多少？，则小正方形边长为多少？11、探究三、探究三:若正方形若正方形OEFGOEFG继续旋转时继续旋转时AMAM与与BNBN之间关系是否还之间关系是否还成立？成立？第47页12、构建与证实、构建与证实ODCBA如图，分别延长等腰直角三角形如图，分别延长等腰直角三角形OAB两条直角两条直角边边AO和和BO，使，使AO=OC，BO=OD求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形。是正方形。第第十十九九章章 四四边边形形第48页数一数图中正方形个数，你发觉了什么数一数图中正方形个数，你发觉了什么？多多多多多多 （）个（）个（）个（）个第第n个图中正方形有个图中正方形有 个个3n-113、长见识、长见识第第十十九九章章 四四边边形形第49页 14、四边形、四边形ABCD是正方形是正方形,两条对角线相交于两条对角线相交于点点O,(1)求求AOB,OAB度数度数8解：解：四边形四边形ABCD是正方形是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450 ABCDOEF(2)若若AC=4，则正方形边长，则正方形边长 ;正方形面正方形面积是积是4(3)正方形面积正方形面积64cm，则对角线交点到正方形，则对角线交点到正方形一边距离一边距离22第50页 15、AC为正方形为正方形ABCD对角线，对角线，E为为AC上上一点，且一点，且AB=AE，EFAC交交BC于于F.请说请说明：明：EC=EF=FBABCDEF解：解：四边形四边形ABCD是正方形是正方形 B=900,ACB=450 AEF=900 AB=AE ABFAFE(HL）BF=EF 又又FEC=900,ECF=45EFC=45 EC=EF（等角对等边）（等角对等边）BF=EF=EC第51页16、在正方形、在正方形ABCD中，中，点点P是对角线是对角线AC上一点，上一点，PE AB，PF BC，垂足分，垂足分别是点别是点E、F.求证：求证：DP=EFFEPDCBA第52页1717、如图所表示是一块在电脑屏幕上出现矩形色、如图所表示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由块图，由6 6个颜色不一样正方形组成，若中间最个颜色不一样正方形组成，若中间最小一个正方形边长为小一个正方形边长为1 1，你能求这矩形色块面积，你能求这矩形色块面积吗？吗？课外拓展：课外拓展：第53页 成功成功就是就是99%血汗，加血汗，加上上1%灵感。灵感。-爱迪生爱迪生 在科学上从没有平坦大道，在科学上从没有平坦大道，只有不畏艰险勇于攀登人，才只有不畏艰险勇于攀登人，才能到达光芒顶点能到达光芒顶点-马克思马克思第54页