高考真题文科数学全国I卷.doc

文科数学 2017年高三2017年全国乙卷文科数学
文科数学
考试时间：____分钟
题型
单选题
填空题
简答题
总分
得分

单选题 （本大题共12小题，每小题____分，共____分。）
1．已知集合A=，B=，则(        )
A. AB=
B. AB
C. AB
D. AB=R
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(       )
A. x1，x2，…，xn的平均数
B. x1，x2，…，xn的标准差
C. x1，x2，…，xn的最大值
D. x1，x2，…，xn的中位数
3．下列各式的运算结果为纯虚数的是(      )
A. i(1+i)2
B. i2(1−i)
C. (1+i)2
D. i(1+i)
4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(      )

A.
B.
C.
D.
5．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(       )
A.
B.
C.
D.
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(         )
A.

B.

C.

D.

7．设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为(        )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8．函数的部分图像大致为(       )
A.

B.
C.

D.

9．已知函数，则(        )
A. 在（0，2）单调递增
B. 在（0，2）单调递减
C. y=的图像关于直线x=1对称
D. y=的图像关于点（1，0）对称
10．下面程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(        )

A. A>1000和n=n+1
B. A>1000和n=n+2
C. A≤1000和n=n+1
D. A≤1000和n=n+2
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，a=2，c=，则C=(        )
A.
B.
C.
D.
12．设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是(        )
A.
B.
C.
D.
填空题 （本大题共4小题，每小题____分，共____分。）
13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．
14．曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
15．已知，tan α=2，则=__________．
16．已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
简答题（综合题） （本大题共7小题，每小题____分，共____分。）
17. 记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P−ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
19.为了监控某种零件的一条生产线的学科*程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本的相关系数，．
20.设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．
21.已知函数=ex(ex−a)−a2x．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
22. 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求．
23. 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

答案
单选题
1.  A 2.  B 3.  C 4.  B 5.  D 6.  A 7.  D 8.  C 9.  C 10.  D 11.  B 12.  A
填空题
13. 
7
14. 

15. 

16. 

简答题
17. 
（1）；（2）见解析
18. 
（1）见解析；（2）
19. 
（1）由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）数据的样本方差为，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为
20. 
（1）1；（2）y=x+7
21. 
（1）见解析（2）
22. 
（1），（2）或
23. 
（1）（2）
解析
单选题
1. 
由得，所以，选A．
2. 
评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
3. 
由为纯虚数知选C．
4. 
根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积，则对应概率，故选B.
5. 
由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．
6. 
对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．
7. 
如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．

8. 
由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．
9. 
∵函数f（x）=lnx+ln（2-x），
∴f（2-x）=ln（2-x）+lnx，
即f（x）=f（2-x），
即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
故选C．
10. 
由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.
11. 
由题意得
，
即，所以.
由正弦定理得，即，得，故选B.
12. 
当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．
填空题
13. 
由题得，因为，所以，解得．
14. 
设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
15. 
由得，
又，
故，
因为，
所以，
因为，
故
16. 
取的中点，连接，
因为，
所以，
因为平面平面，
所以平面，
设，则，
所以，所以球的表面积为.
简答题
17. 
（1）设的公比为．由题设可得解得，．
故的通项公式为．
（2）由（1）可得．
由于，
故，，成等差数列．
18. 
（1）由已知，得，．
由于，故，从而平面．
又平面，所以平面平面．

(2)在平面PAD内作,垂足为E,由（1）知，平面PAD,可得平面ABCD,
设AB=x,则由已知可得故四棱锥P-ABCD的体积，
由题设可得，故x=2,
从而PA=PD=2，,
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为
19. 
（1）由样本数据得的相关系数为
．
由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
（2）（i）由于，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外，因此需对当天的生产过程进行检查．
（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．
，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为．
20. 
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，x1+x2=4，
于是直线AB的斜率．
（2）设 ，则C在M处的切线斜率
∴
则 ，又AM⊥BM，

即
又设AB：y=x＋m
代入
得
∴，
－4m＋8＋20=0
∴m=7
故AB：y=x+7
21. 
（1）函数的定义域为，，
①若，则，在单调递增．
②若，则由得．
当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．
③若，则由得．
当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．
（2）①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．
综上，的取值范围为．
22. 
（1）曲线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．
由解得或
从而与的交点坐标为，．
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
．
当时，的最大值为．由题设得，所以；
当时，的最大值为．由题设得，所以．
综上，或．
23. 
(1)当a=1时，不等式等价于①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而，
所以的解集为
（2）当时，．
所以的解集包含，等价于当时．
又在的最小值必为与之一，所以且，得．
所以的取值范围为．