爪型符号模式矩阵要求代数正的相关研究.pdf

田 岩，等：爪型符号模式矩阵要求代数正的相关研究收稿日期：2023-05-09作者简介：田岩（1983），女，讲师，博士，硕士生导师，研究方向：代数学.基金项目：辽宁省教育厅青年项目（LQ2020021）.第 38 卷第 2 期2024 年 4 月白 城 师 范 学 院 学 报Journal of Baicheng Normal UniversityApr.Vol.382024No.2爪型符号模式矩阵要求代数正的相关研究田岩，焦旸，殷明娥，蒋思源（辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029）摘要：基于爪形符号模式矩阵的结构特点，研究了爪型符号模式矩阵是否要求代数正.利用图论和组合矩阵论的知识，证明了爪型符号模式矩阵要求代数正的必要条件.同时，分别给出了阶数小于5的爪型符号模式矩阵要求代数正的等价条件.研究结论丰富了组合矩阵理论，为符号模式矩阵允许代数正和要求代数正的研究提供了方法和思路.关键词：符号模式矩阵；代数正；要求代数正；爪型符号模式矩阵中图分类号：O151.21文献标志码：A文章编号：1673-3118（2024）02-0010-070引言符号模式矩阵是组合矩阵论中一个比较热点的研究课题，它在动力系统、经济学、社会学、化学以及理论计算机科学等很多领域都有重要应用.符号模式矩阵主要通过实矩阵的元素符号研究实矩阵具有的仅与其元素的符号有关，而与元素的数量大小无关的组合性质.1987年，Eschenbach1引入并研究了符号模式允许和要求某种性质.此后，众多学者开始对符号模式矩阵允许和要求的一些性质进行了研究2-4.2016年，Kirkland等5引入并研究了代数正矩阵，首次提出符号模式矩阵要求代数正和允许代数正两个重要问题；2019年，Das等6对代数正矩阵进行了新的刻画，并且研究路径符号模式矩阵、星符号模式矩阵以及树符号模式矩阵允许代数正和要求代数正；同年，Abagat等7讨论所有三阶不可约符号模式矩阵，分别给出其要求代数正、允许且非要求代数正以及非允许代数正的刻画；2021年，Das8给出了5阶树符号模式矩阵要求代数正的等价条件；2022年，Biswas等9刻画了3阶对称符号模式矩阵要求代数正；同年，Das10讨论符号模式矩阵是允许代数正的充分条件，并且给出低阶代数正矩阵构造高阶代数正矩阵的方法；2023年，田岩等11研究了Hankel符号模式矩阵，给出3阶Hankel符号模式矩阵允许代数正和要求代数正的刻画.本文在文献 1-12 的研究基础上，考虑爪型符号模式矩阵，借助组合矩阵论和图论的理论，证明爪型符号模式矩阵要求代数正的必要条件，同时分别给出阶数小于5的爪型符号模式矩阵要求代数正的具体结构，旨在为符号模式矩阵允许代数正和要求代数正的研究提供一定的思路.1预备知识以下是本文用到的基本概念和相关结论.田 岩，等：爪型符号模式矩阵要求代数正的相关研究第2期符号模式矩阵是指所有元素都来自集合+，-，0的矩阵.任意实矩阵A=(aij)，以aij的符号为元素构成的符号模式矩阵称为A的符号模式矩阵.Q(A)表示与符号模式矩阵A具有相同符号的实矩阵集合.矩阵（符号模式矩阵）A的第i行j列元素用A(i，j)表示.本文研究的矩阵都是实方阵，其中表示实数域.定义1 设A是实矩阵，如果存在一个实数系数多项式f(x)，使得f(A)是一个正矩阵，则A是代数正矩阵.定义2 设A是符号模式矩阵，若任意实矩阵M Q(A)都是代数正矩阵，则称符号模式矩阵A要求代数正.例1 设符号模式矩阵A=()0+0+0-0-+，证明A要求代数正.证明 任取实矩阵M Q(A)，则令M=()0a0b0-c0-de，a，b，c，d，e 0.那么，存在实系数多项式f(x)=-x2+e2x+t（其中t足够大），使得f(M)0，所以M是代数正矩阵，故A要求代数正.定义3 设A是符号模式矩阵，若存在实矩阵M Q(A)是代数正矩阵，则称符号模式矩阵A允许代数正.例2 设符号模式矩阵A=()+0+0-0-+，证明A允许代数正.证明 设Q(A)中存在实矩阵M=()a10b0-c0-1d，a，b，c，d，0.那么，存在实系数多项式f(x)=-x2+a+d2x+t（其中t足够大），使得f(M)0，所以M是代数正矩阵，故A允许代数正.定义4 设A是n阶矩阵（符号模式矩阵），若存在置换矩阵P，使得PTAP=()B0CD，其中B，D是阶数小于n的方阵，则称A是可约矩阵（符号模式矩阵）.否则，称A是不可约矩阵（不可约符号模式矩阵）.引理1 设A为n阶实矩阵，若A是代数正矩阵当且仅当存在一个最高次数小于等于n-1的实系数11白城师范学院学报第38卷多项式f(x)，使得f(A)0.根据文献 7 可得下列引理.引理2 设A是n阶实矩阵，若A是代数正矩阵当且仅当下列条件之一成立：（1）PAPT是代数正矩阵，其中P为置换矩阵；（2）A+I是代数正矩阵，其中a ，0.引理3 设A是不可约符号模式矩阵，若A中除对角线以外的非零元符号都相同，则A要求代数正.定理1 若A允许代数正，则A的每行每列都包含+，或A的每行每列都包含-.设V是有限集合，E V2，则集合对D=(V，E)称为一个有向图.V中元素称为顶点，E中元素称为弧.矩阵（符号模式矩阵）A的有向图D(A)中首尾相连的一串弧（a0，a1），（a1，a2），（am-1，am）称为一条有向路径，也记作a0 a1 a2 am-1 am13.设A是n阶矩阵（符号模式矩阵），则对于D(A)中任意两个不同顶点i，j 1，2，n，存在i到j的有向路径当且仅当A(i，i+1)A(i+1，i+2)A(j-1，j)0.在n阶矩阵M的有向图D(M)中，若对于任意两个顶点i，j 1，2，n，存在从i到j和j到i的有向路径，则称顶点i，j强连通.D(M)强连通当且仅当对于D(M)中任意两个顶点都是强连通的.引理4 设M是n阶矩阵，则M不可约当且仅当它的有向图D(M)强连通.设A是n阶符号模式矩阵，A+表示A中非负符号位置的元素不变，负符号位置的元素用0代替；A-表示A中非正符号位置的元素不变，正符号位置的元素用0代替，那么定义BA=A+-AT-.定理2 设A是n阶符号模式矩阵.若A不可约且BA是可约的，则A不是允许代数正.2爪型符号模式矩阵要求代数正首先，给出爪型符号模式矩阵的定义以及具体形式.定义5 符号模式矩阵A形如A=a11a12a1na21a220an10ann，其中a1i，ai1+，-(i=2，3，n)，ai，i+，-，0(i=1，2，n)，其余位置的元素全为0，称A是爪型符号模式矩阵.其次，证明n阶爪型符号模式矩阵都不可约，并且给出爪型符号模式矩阵是允许代数正的必要条件.引理5 爪型符号模式矩阵不可约.证明 设A是n阶爪型符号模式矩阵，则a12a21a13a31a1nan1 0.对于任意两个顶点i，j 1，2，n，都有ai1a1 i+1ai+1 1a1j 0，aj1a1 j+1aj+1 1an1a12a21a1i 0.所以A的有向图D(A)中任意两个顶点i j 1，2，n 之间都存在有向路径，因此，D(A)是强连12田 岩，等：爪型符号模式矩阵要求代数正的相关研究第2期通的.根据引理4，A不可约.引理6 设A是n阶爪型符号模式矩阵，若A允许代数正，则A对称.证明 假设A不对称，则不妨设A(1，2)A(2，1)0.根据定理1，不妨设A的每行和每列都含有+，则A或-A置换相似于S中的符号模式矩阵.充分性.设A或-A置换相似于S中的符号模式矩阵，则只需考虑符号模式矩阵A=()+，+，-，0.任取实矩阵M Q(A)，令M=()a1bca2，其中b，c 0，a1，a2是任意实数.因为M(1，2)M(2，1)0，所以D(M)强连通.根据引理4，M不可约，所以A不可约.由引理3可知，A要求代数正.根据文献 6，A要求代数正.定理4 设A是3阶爪型符号模式矩阵，则A要求代数正当且仅当A或-A置换相似于S中的符号模式矩阵集S=()*+*0+0*，()0+-+00-0+，()+-+00-0+，()-+-+00-0+，()*+-+-0-0+，()+-+-0-0+，()-+-+-0-0+.证明 根据引理56，A对称不可约.因为3阶爪型符号模式矩阵置换相似于三对角符号模式矩阵，根据引理2以及文献 5，易证.设diag(d1，d2，dn)表示对角线元素为d1，d2，dn的对角矩阵.定理5 设A是4阶爪型符号模式矩阵，则A要求代数正当且仅当A或-A置换相似于S中的符号模式矩阵集13白城师范学院学报第38卷S=+00+00+00，+-+000-0+0-00+，-+-+000-0+0-00+，0+-+000-0+0-00+，+-+-00-0+0-00+，-+-+-00-0+0-00+，0+-+-00-0+0-00+.证明 必要性.设A要求代数正，则由引理6可知，A对称.根据定理1，不妨设A的每行每列都含有+.以下分两种情况考虑：（1）A中除对角线元素外所有非零元素符号相同.那么，A或-A置换相似于下列符号模式矩阵 +00+00+00.其中 +，-，0.（2）A中除对角线元素外所有非零元素符号不同.由引理6可知，A是对称的，则A或-A置换相似于符号模式矩阵A=m+-+n00-0p0-00q.其中m，n，p，q +，-，0.任取矩阵M Q(A)，则M是代数正矩阵.设M=a1b1-b2-b3c1a200-c20a30-c300a4，其中bi，ci 0（i=1，2，3）.D=diag()1b1，1，1b1c2，1b1c3，则M=DMD-1，所以M=a11-c-dba200-10a30-100a4.其中b=b1c1，c=b2c2，d=b3c3，b，c，d 0.由引理2可知，M=DMD-1是代数正矩阵.根据定理1，不妨设A的每行每列都含有+，则M的每行每列都含有一个正实数，所以a3 0，a4 0.由于M是代数正的，所以存在实系数多项式f(x)，使得f(M)0.根据引理1，可设f(x)=x3+x2+x+，.首先，考虑f(M)(2，3)和f(M)(3，2)都大于0，即-bc(a1+a2+a3)-bc 0，-(a1+a2+a3)-0，14田 岩，等：爪型符号模式矩阵要求代数正的相关研究第2期可得 0，-(a1+a2+a4)-0.可得 -(a1+a3+a4).（3）由式（1）（3）可知(a4-a2)0，(a3-a2)0，因此(a4-a2)(a3-a2)0恒成立.又因为a3，a4 0，所以a2 0.于是m=+，-，0，n=-，0，p=+，q=+.充分性.由引理5可知，A不可约.根据引理3，S中第一个符号模式矩阵要求代数正.设A或-A置换相似于S中其余符号模式矩阵，则只需考虑符号模式矩阵A=+-+00-0+0-00+.其中 +，-，0.根据上述必要性的证明，对于Q(A)中任意实矩阵，只需考虑实矩阵M=a11-c-dba200-10a30-100a4.其中b，c，d，a3，a4 0.设M=M-a4I，则M=a11-c-dba200-10a30-1000.那么存在实系数多项式f(x)=x3+x2+x+，使得f(M)0，其中=1，=-a1-a3-a22，=-b-c-d+a1a3+a1a22+a2a32-a224，充分大.所以M是代数正矩阵，根据引理2，M是代数正矩阵.所以A要求代数正.由文献 6 可知，A要求代数正.3结论本文利用图论和组合矩阵论的理论，给出了阶数小于5的爪型符号模式矩阵要求代数正的具体结构.本文的研究方法可以应用到其他类型符号模式矩阵的研究中，对于研究符号模式矩阵允许代数正和要求代数正两个问题具有一定的借鉴意义.参考文献：1ESCHENBACH C A.Eigenvalue classification in qualitative matrix analysis D.South Carolina：Clemson University，1987：10-11.15白城师范学院学报第38卷2LEE S G，PARK S W.The allowance of idempotent of sign pattern matrices J.Communications of the Korean MathematicalSociety，1995，10（3）：561-573.3SHAO Y L，GAO Y B.Sign patterns that allow diagonalizability J.Linear Algebra and Its Applications，2003，359（1/3）：113-119.4SHAO J Y，SHAN H Y.The solution of a problem on matrices having signed generalized inverses J.Linear Algebra and ItsApplications，2002，345：43-70.5KIRKLAND S，QIAO P，ZHAN X Z.Algebraically positive matrices J.Linear Algebra and its Applications，2016，504：14-26.6DAS S，BANDOPADHYAY S.On some sign patterns of algebraically positive matrices J.Linear Algebra and Its Applications，2019，562：91-122.7ABAGAT J L，PELEJO D C.On sign pattern matrices that allow or require algebraic positivity J.The Electronic Journal ofLinear Algebra，2019，35：331-356.8DAS S.Classifications of some algebraically positive，diagonalizable and stable matrices with their sign patterns D.Guwahati：Department of Mathematics Indian Institute of Technology，2021：54-61.9BISWAS A，KUNDU S.On algebraically positive matrices with associated sign patterns J.Resonance，2022，27（7）：1211-1235.10DAS S.Sign patterns that allow algebraic positivity J.Linear Algebra and Its Applications，2022，653（15）：151-182.11田岩，赵心茹.Hankel符号模式矩阵的一些研究 J.吉林师范大学学报（自然科学版），2023，44（1）：78-83.12田岩，焦旸.Artin A-左遗传环的若干研究 J.吉林师范大学学报（自然科学版），2022，43（1）：86-90.13BRUALDI R A，RYSER H J.Combinatorial Matrix Theory M.New York：Cambridge University Press，1991：55.Related research on paw form sign pattern matricesthat require algebraic positivityTIAN Yan，JIAO Yang，YIN Ming-e，JIANG Si-yuan（College of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China）Abstract：Based on the structural characteristics of paw form sign pattern matrices，whether the paw formsign pattern matrices require algebraic positivity are studied in this paper.It is proved that the necessary conditions of the paw form sign pattern matrices that require algebraic positivity by using the knowledge of graphtheory and combinatorial matrix theory.At the same time，some equivalent conditions of the paw form signpattern matrices with order less than 5 that require algebraic positivity are given respectively.The resultsof this paper enriches the combinatorial matrix theory，the methods and ideas are provided for the study ofallowing algebraic positivity and requiring algebraic positivity of sign pattern matrices.Key words：sign pattern matrices；algebraic positivity；require algebraic positivity；paw form sign patternmatrices（责任编辑：许慧）16