输入饱和下水面舰艇的时变编队控制.pdf

第3 7 卷第2 期2024年4月文章编号：10 0 4-8 8 2 0(2 0 2 4)0 2-0 2 3 0-10研究简报烟台大学学报（自然科学与工程版）Journal of Yantai University(Natural Science and Engineering Edition)Vol.37 No.2Apr.2024doi:10.13951/ki.37-1213/n.230410输入饱和下水面舰艇的时变编队控制梁煜祺,李健（烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台2 6 40 0 5）摘要：在多艘水面舰艇编队控制中，为了弥补较强的不确定性，并降低控制器对系统信号的测量负担，提出水面舰艇编队的时变控制设计方案。首先，通过引入光滑函数来处理饱和约束，同时通过构造含有时变增益的状态变换，将原系统的跟踪控制问题转化为一个新的时变系统的镇定问题。然后，结合向量反推控制设计方法，给出时变反馈控制器的显式形式，保证闭环系统所有信号都有界且所有跟随船以期望的时变编队队形渐近跟踪到领导船。最后，仿真算例验证理论结果的有效性。关键词：时变编队控制；不确定性；输入饱和；时变反馈中图分类号：0 2 3 1.2文献标志码：A水面舰艇编队在海洋工程中具有广泛应用,如海上救援、勘探和监视等，因而其相关控制问题在过去十年间受到广泛关注。实际工程中,由于测量设备的不准确性以及受海洋环境中风、浪、流等影响，描述水面舰艇动态的模型不可避免地存在不确定性（例如存在未知系统参数或受外部扰动影响），给控制设计和性能分析带来本质困难。因而,水面舰艇编队的控制理论结果多是基于对系统不确定性的不同假设,进而给出不同的控制方法。例如，当只有外部扰动但系统参数全部已知时，基于预测模块 和扰动观测器 2-3 的控制方法被提出；当具有外部扰动且系统参数部分已知时,时变 4和滑模 5控制方法被提出；当具有外部扰动且系统参数完全未知时，神经网络 6 和模糊 7 等一些近似方法被提出。上述文献仅考虑常值编队控制,其控制结果在理论和实践上具有一定的局限性。然而,实际工程中的多数情形往往需要根据实际情况随着时间灵活改变队形。理论上，由于领导者和每个跟随者之间的相对距离是时变的而非常值,新的时变特性将被引人控制设计，导致上述文献中针对常值编队的控制方法失效。因此，需要发展新的控制方法来解决时变编队控制问题。尽管现有文献 8-16 在这一问题上取得了一些初步的成果,但在系统不确定性和队形信息可测性两个方面受到严格限制。文献 8 要求系统不含有不确定性（即系统参数全部已知且无外部扰动，文献 914虽然考虑外部干扰，但要求系统参数必须全部已知 9-10，或具有已知标称部分（-12,亦或部分参数已知（例如惯性矩阵）【13-4。此外，文献 8 16 提出的控制器需要编队相对距离或领导者输出信号的二阶导数用于反馈，测量代价较大。在工程中,执行器自身的物理特性常导致输入不可避免地受到约束。输人约束的忽略将导致设备元器件的损坏，同时破坏系统性能，甚至导致系统不稳定 17-18。然而，现有大多相关文献忽略了输入约束1,3-8,0,2.4.1。部分文献虽然考虑了输人饱和约 2.,13.1,但均在前述所提及的系统不确定性和队形收稿日期：2 0 2 3-0 4-11基金项目：国家自然科学基金资助项目（6 17 7 3 3 3 2）。通信作者：李健（），教授，博士，主要研究方向为分布参数系统控制、机械系统控制。第2 期信息可测性两个方面受到限制。对于水面舰艇系统的时变编队控制，当系统受饱和约束并且放宽前述两个方面的限制时,现有文献中的控制方法失效,因此需要发展新的强不确定性补偿方法,并在此基础上建立控制设计和性能分析的新框架本文研究多艘水面舰艇输人饱和约束下的时变编队控制。与相关文献对不确定性严格的限制（排除外部扰动或系统参数必须完全/部分已知）不同的是，本文所研究系统受外部扰动影响且参数全部未知，因此具有更强的不确定性。此外,编队相对距离和领导者输出的二阶导数都不需要用于反馈。为此,本文首先对系统引人一个含有重要的时变增益的状态变换,通过时变增益随时间增长而趋于无穷大的性质来补偿系统的不确定性。然后,结合向量反推控制设计方法设计时变状态反馈控制器。最后,理论分析证明该控制器保证控制目标的实现。值得指出的是，在系统不确定性较强和队形较弱的假设下，本文设计的控制器不需要额外引人神经网络、模糊、自适应技术等复杂动态机制，更容易实施。梁煜祺，等：输入饱和下水面舰艇的时变编队控制231(1)(cost;-sin;o)1问题描述1.1准备知识用G=（V,E,A)表示由N个跟随者构成的有向图,其中V=n，,n 是节点集,E=（n i,n,）VVI是边集,A=a,|Nx n 是邻接矩阵，如果第i个跟随者可从第j个跟随者获得信息，则a0,否则;=0。D=diag（,y，Z,a n）表示人度矩阵,L=D-A表示拉普拉斯矩阵。用B=diag（b 1，b y）描述领导者和跟随者之间的关系,如果领导者可以直接向第i个跟随者发送信息,则b;0,否则b;=0。1.2系统描述和控制目标考虑由N艘水面舰艇组成的一个有向网络系统。第i艘水面舰艇的动态模型描述如下：q;=R,()Vi,Mi+C(v.)v;+D,(v.)v;=T,+o),i=1,*,N,其中,q;=（x;,y i,）是第i艘水面舰艇在固定坐标系中的位置（xi,y）和航向角；组成的向量;v;=（u，Ui,r）是第i艘水面舰艇在体坐标系中的纵摇速度u;、横摇速度u；和崩摇角速度r；组成的向量;R（,）、M,C（v）和D（v)分别表示旋转矩阵、惯性矩阵、科氏向心矩阵和阻尼矩阵,定义如下：(2)00C,(v;)=0(Ciar(vi,r.)(di(u)D,(v;)00其中,m=m,-Xam,ma2=m-Yam,m23=ma2=m xg-Yan,maa=la-Nar,C2a=-Ca2=mi u,Cal(U,r.)=-Ci13(vi,ri)=m22v;+mi23ri,din(u,)=-(Xu+Xui l u;I+Xuuiu),d22(vi,r,)=-(Y+Ym lr;I+Ym lv;I),d23(vi,r)=-(Yr+Ymi/r,+Yur lv,1),d32(vi,ri)=-(Nu+Nmilr,I+Nm lv;I),di(vi,r,)=-(Nr,+Nm Ir,I+Nmlu;I）,m；表示第i艘水面舰艇的质量，xg表示第i艘水面舰艇几何中心到重心之间的距离，lai,X.;，Y.，N.,为第i艘水面舰艇的水动力参数，m;，g i，l a,X,，Y.;,N.,均为未知常数，;=（wu,Wn）T是由海浪、风、洋流等引起的环境扰动，T;=（T ,T）T 是第i艘水面舰艇的控制输人，受如下饱和约束：R;()=sin;cos;000mill0M=0mi22mi230mi32mi33 7Ci32(u)0di22(ui,rt)di23(vi,r,)dis2(vi,ri)diss(u;,r)10Ci13(v;,r,)0Ci23(u;)00232烟台大学学报（自然科学与工程版）,max-?,maxYCTiT?(=u,U,r)Y,c第3 7 卷y,maxTTY,CTi(3)-y,maxy,minT其中，?max和T?min为未知的常数,=（，）为待设计的控制输人。本文的控制目标是,对由领导船生成的光滑有界参考轨迹qa=（x a,a,a）,通过时变反馈控制方法为每艘水面舰艇设计时变编队控制器T;，使得所有闭环系统信号都有界,并且所有跟随船以期望的时变编队队形渐近跟踪到领导船，即其中,h；是一个时变函数,表示第i个跟随船到领导船之间期望的相对距离。如下给出系统(1)的两个重要性质,该性质在实际中通常成立且易通过式(2)验证。性质1存在未知正常数入和,使得,13 3 M,1330性质2 存在未知正常数和,使得IC,（）l l，D,(）（;I+1)。如下给出关于扰动、参考轨迹和编队相对距离的假设。假设1存在一个未知的常数,使得;lw。假设2存在一个未知的常数,使得qa+。假设3存在一个未知的常数h,使得h;+h,Il+Ilh,lh。T?lim llq;-qd-h,(t)l=O,i=1,N,Y,c2#控制器设计作为控制设计的准备工作，首先引入以下光滑函数近似饱和约束(3）：d 称为高斯误差函数,r=(Y,maxmax其中,erf(x)2理，上式所给p?可改写为p?=p?(0)+W(T-0),TLT其中,W=exp(-)(0W。0。因21此,注意到p?（O）=0,T;被重写为其中,e;=（e,e ,e r)T 代表近似误差，W,=diag（W,W,W.)。注意到;和p?均有界（由式(3)和（4)可得），故存在一个未知正常数em使得le;llemo然后,对于系统(1）,定义如下时变状态变换：n:=Zag(l-h-ld-(,-h,-qa)+b(q:-h;-a),=V;-;5;=k(t)其中，d;=Z,=+b；,:为待设计的虚拟控制,k(t)为满足以下性质的时变函数：注1时变增益k(t)的引人不会导致状态变换引人额外的系统信息。实际上,时变增益k(t)是事先给定的（由式(6)给出），常见的取法有1+t,e等。对式(5)两边分别求导并利用式（1）,得到如下误差系统：p?(T?)=I.erf(T;=W,Ti+ei,NKK0,+8,limk=+。K+8(4)21+y,max2sign(T）。通过中值定(5)(6)第2 期=d(R()(:+)-h-qa)-Zag(R,(i)(,+,)-h,-qa),专=(Mi(-C(v)v-D,(v)v:+W,ti+e,+,)-)。K如下通过三步反推设计步骤，给出控制器设计的详细过程。第一步：选取1T2nni沿误差系统(7)的解,得Vi的导数为NVi=nin:=ni(d(R()(k:+.)-h-qa)-Za;(R,(uj)(ks;+,)-h,-qa)。1选取虚拟控制V则式(8)转化为Va=-Cikmim:+nid,R,(ui)k:-niZagR,(,)kt),其中，Ci为控制器参数。第二步：选取沿着系统的轨线求导得梁煜祺，等：输入饱和下水面舰艇的时变编队控制Ve=V+.tMs.=233N(7)(8)(9)N(10)j12W。I(W,t-C(v.)v:-D,(v.)v;+e;+w;-M,kt:-M.)。WoK利用性质1、2 和假设1,通过Youngs不等式将式(11)等号右端括号内除第一项和最后一项做如下估计：(11)K2KW。X(2+7?+)s(e:+0.)ks:W.s+K5:M,RTk;K为方便对式（11）括号内最后一项进行估计，首先由,表达式（见式（9）得；=（kn;,h;,qa，）（其中n=(ni,nn)T),进而得到将式(9)代人式(7)第一个等式得到其中,H=L+B,R()=diag(R(),R(),=(,)T,=(,专),c=diag(Cu,C)。所以可利用性质1和假设2、3 对式(11)括号内最后一项做如下估计5:,MB:kt:Wt(h+2KW。+2kWB:=(Kn+kma(km)n=(HI,)R()k-k(c I,)n,(km+(HI,)R()k-k(c I,)n)l +(kn)ah(12)2kWO将式(12)代人式(11)可得234烟台大学学报（自然科学与工程版）第3 7 卷2K5(I/12+(/12+1)*)/I2+2+Vi2VVi+Wok;K2 I15:I +II(kn+(HI,)R()k-k(c I.)n)Il 2+a(km;ah,其中=(X(3+g+h)+入2+入3+em+022W选取时变控制器maqd3K(13)(14)N;K2 I1:I+II(kn+(HI)R()k-k(c I,)n)l2+a(kn)将式(14)及式(10)代人式(13)可得Viz Vit-C2iksT-C1:knin:-C2iks5;+mK3将式(15）不等号右端最后两项做如下估计：W+WK30m+nd;ksmai;k5;=1(15)(16)一2l;knin+2NNagknin:+Najk5;+2ajkt5;将式(16)代人式(15)可得NViz-(cliay)knin:-(caiktl5:-d.k一第三步：选取由式(17)可得其中,M=Nm,ou=(d.+)Najk专5,)m2NV二j=1NNV-Z(cu-0m)min:-Z(c2:-0a)kit+M3j1KN+),-(d+)u,为控制器参数,满 u n 6(17)V2，N则(18)V-ukV+M3，K2W。其中,=min/2,miniCi:-limin1c2i-211。1iN1iN3闭环系统性能分析为给出闭环系统性能,首先给出如下关于时变函数k 的重要性质。命题1由式(6)所描述的时变函数k保证如下等式成立：第2 期梁煜祺，等：输入饱和下水面舰艇的时变编队控制235(20)lim kenllx(a)do=0,i=N,t+80Mlim re-mls(o)d.k(a)dgK(s)+Mlimrefs(o)da(a)doR（s)+80证明式(19)中前两个等式可通过数学归纳法证明,进而可以直接得到第三个等式。由于lim=+,则式(19)中第一个等式当i=0时显然成立。假设式(19)中第一个等式当i=n-1t+8时成立（即 limlk=0）,则由于是+并利用洛必达法则,得n一t+80上式表明式(19)中第一个等式当i=n时成立,进而对VieN成立,即式(19)中第一个等式成立。利用洛必达法则并注意到limK=+,式(19)中第二个等式当i=0时显然成立。假设式(19)中第二个等式当i=n-1(n3)时成立(即 lim rle-he(o)da ds=0），则由于+并利用洛必Kt+o达法则，得lim ket一+8limt+80nKlim1一+8ds=0,i=0,1,2,3,Mds4KKlim re-nfs(o)dslimt+8t+8Lr(a)daKlx(o)do=0。limnt-+80儿K+)dodok(a)do(a)dgKukelr(o)do(19)nk-klimt-+o0ukerfr(o)dan-1KedoKSMds二Mds+lim1+80ukelr(o)doM()doK(s)MKKelo0k(o)daMKlimnt+8K上式表明式(19)中第二个等式当i=n（n 3)时成立,因此式(19)中第二个等式成立,进而式（19)中的第三个等式也是成立的。证毕。定理1在假设13 下,考虑N艘由式(1)描述的水面舰艇和一个领导者组成的有向网络系统。所设计的时变反馈跟踪控制器(14)保证所得闭环系统所有状态都有界并且所有跟随船以期望的时变编队队形渐近跟踪到领导船，即证明定理分为两部分进行证明。首先证明所有跟随船以期望的时变编队队形渐近跟踪到领导船，然后证明闭环系统所有状态的有界性。对式(18)左右两边同时在 0,t积分可得ds。J0KKelimllq;-qd-h,(t)I=0,i=1,N。+8Mk(o)doMOdok(o)doDMk-4=0。(2 1)ds+limKt+8(22)2W由上式并利用命题1得V在 0，+）上有界且limV=0。由V的定义可知I2V，l而m和是有界的且lim l=0,lim ll=0。由n的定义可知,=（H）（q-h-1q a）（其中q=(q,q),h=(hi,h)T,故 Ilq-h-1nqall I-IIl l,进而lim Ilq-h-1qall=0,lim Ilq;-h;-qall=0。由于h;,q;有界,那么q;有界。为证明闭环系统其他信号的有界性,首先给出km,k，,的估计。对式(2 2)两边乘以和k得V，从+801236通过命题1可以直接得到V和V的有界性，然后km,（或.），,的有界性可由下述式子得到由q;的有界性可得,有界,再由kn,h;,qa的有界性可得,有界。由式(5)的第二个等式和k：的有界性,可得v,有界。控制器的有界性可以通过证明其自变量的有界性得到。由式(14)可得=(,vi，h,a,km,Km,k,km,.）。由于km=（m),且km 和(见式(6)都是有界的,所以km 是有界的。同理可证；有界,因此,，,所有自变量都是有界的,进而其本身有界。证毕。烟台大学学报（自然科学与工程版）6k(o)dak(o)dgK(s)k(a)dgMK(s)dsIl m l =k ll n l 2 2k V,2W。Il k I=K I I KV,Il m l2=k/l?2kV,2W。入K第3 7 卷Mds41仿真算例本节利用一个由一艘领导船和四艘跟随船组成的网络系统验证理论结果。网络的通信拓扑如图1所示,其中点d表示领导者，点1 4表示跟随者。由图1可知0000710 002-1100L=0-110-1001-每艘船（领导者或跟随者）的动力学模型都是CyberShip II,其动力学矩阵由式(2)给出,模型参数如表1所示。参数参数23.8Xu0.046Xuuu1z1.76Xdl-2-10Yar0Na-1X-0.722 50000B=0000LO0 00表1系统(1)中参数Tab.1The parameters in system(1)参数值Y,YmY,Yr图1通信拓扑图Fig.1 The communication topology graph参数值-1.327 4-5.866 4-0.861 236.282.320.107 913参数NNmNN,NwNr参数值0.105 25.043 7540.50.8假设系统受如下扰动：-3cos 0.6t+1=1.6sin 0.2t+1.8-2cos 0.3t-1第2 期输人饱和约束的上下限分别为-=（2 5,3 0,8),=（-2 0，-10，-5)”。领导者的轨迹为期望的时变编队队形为一个大小随时间变化的正方形,编队相对距离定义如下：系统的初始状态为q10=（2.5，-1.2,0.1)T,q 2 0=（3,8，-1.5，-0.1)T,93 0=（3.2，-2.9，-0.2),q 40=(2.2,-2.3,0.2)T,Vio=(0.1,0.3,0.2)T,V20=(0.4,0.2,0.5)T,Vv30=(0.3,-0.2,0.2)T,V4o=(-0.1,0.3,0.1)T,vVso=(0.2,0.3,0.4)T。实施时变控制器(14）,其中时变函数k=1+t,控制器参数为 Cu=2,Ci=4,Ci3=2,C14=3,C21=8,C22=9,C23=8,C24=10。通过MATLAB进行仿真实验，得到图2 5。具体地，图2 显示所有跟随船以期望的时变编队队形渐近跟踪到领导船（从给出的四个时刻中可以看出）。图3 表明跟踪误差曲线渐近收敛到零。图4表明所有跟随船的系统状态v；是有界的。图5表明每个跟随船的控制输人T；是有界的,并且满足给定的饱和约束。642S0-24-6-6Fig.2Formation trajectory of vessels0.5PX-0Iy-x-0.50.5PAy-0-0.50.20-0.2梁煜祺,等：输入饱和下水面舰艇的时变编队控制3cos 0.05t+2sin 0.05tqd=3sin 0.05t-2cos 0.05tL0.2sin 0.2th,=(0,0.2cos 0.06t+1,0)T,hz=(0.2cos 0.06t+1,0,0)T,h,=(0,-0.2cos 0.06t-1,0)T,h4=(-0.2cos 0.06t-1,0,0)T。=1领导船=34-4-2图2 船的编队轨迹110110110t/si1-=2图4状态轨迹Fig.4State v;trajectory237Px-y-x0.50-0.5i=20.50-0.5Pp-y-0.20-0.202Xi=3=4111t/s=1-i=246100100100101010i=3-i4图3 编队误差轨迹Fig.3Formation error trajectory500-50500-50100-10100100100M110110110t/s1=2图5控制器T轨迹Fig.5Controller T;trajectory100100100=3i=42385总结本文解决了带有输人饱和的多个不确定水面舰艇的时变编队控制问题。通过巧妙地将向量反推控制设计方法与时变反馈控制设计方法相结合，显式设计了时变反馈控制器，保证了期望的控制目标。未来将在此基础上考虑事件触发机制下的水面舰艇编队控制问题。为此,需要设计适当的事件触发机制，通过结合触发机制和系统不确定性的补偿机制,建立一种新的控制框架。参考文献：1 PENG Z H,WANG D,WANG J.Cooperative dynamic positioning of multiple marine ffshore vessels:a modular design J.IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2016,21(3):1210-1221.2WANG N,LI H.Leader-follower formation control of surface vehicles:A fixed-time control approachJJ.ISA Transactions,2022,124:356-364.3XIA G Q,SUN C,ZHAOB,et al.Cooperative control of multiple dynamic positioning vessels with input saturation based on fi-nite-time disturbance observer J.International Journal of Control,Automation and Systems,2019,17(2):370-379.4J DAI S L,HE S D,MA Y F,et al.Cooperative learning-based formation control of autonomous marine surface vessels with pre-scribed performanceJ.IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics:Systems,2022,52(4):2565-2577.5 LIANG C D,GE M F,LIU Z W,et 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is explicitly designed whichguarantees that all the states of the resulting closed-loop system are bounded while all the follower vessels asymptoti-cally track the leader vessel with an expected time-varying formation pattern.Finally,simulation results are provid-ed to validate the effectiveness of the proposed theoretical results.Keywords:time-varying formation control;uncertainty;input saturation;time-varying feedback(责任编辑李春梅)