1.1.6洛必达法则.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
1.1.6洛必达法则（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 掌握洛必达法则。
2、 会求未定式的极限。
重点
洛必达法则的使用
难点
求未定式的极限
教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配
一、洛必达法则（一）
定理1 15分钟
例1-例4 25分钟
二、洛必达法则（二）
定理2 10分钟
例5-例9 30分钟
小结 10分钟

作业

备注

4
1.1.6洛必达法则
一、洛必达法则（一）（“”型未定式）
定理1 如果函数和满足下述条件：
（1）；
(2)在点的某个领域内（点可除外）、均存在，且；
（3）
则
注意：
1、 把改为仍然成立。
2、 如果时仍属“”型，且这时、能满足定理中的、所需满足的条件，那么仍使用洛必达法则，即
证明：因为极限是否存在与和取何值无关，故可补充定义
于是由（1）、（2）可知，
函数和在点的某个领域内是连续的。
设是该邻域内任意一点（）
则和在以和为端点的区间上，满足柯西中值定理的条件，从而存在（介于和之间）
使得
当时有，
所以

【例1】
解
【例2】
解
【例3】
解
【例4】
解
二、洛必达法则（二）（“”型未定式）
定理2 如果函数和满足下述条件：
（1）；
(2)在点的某个领域内（点可除外）、均存在，且；
（3）
则
注意：
同法则（一）
【例5】
解

【例6】
解
三、其他形式的未定式
如有“”、“”、“”、“”、“”等型的未定式设法将其化成“”或“”型，然后用洛必达法则来求极限。
【例7】
解
【例8】
解
【例9】
解 而
所以
小结：
1、 只有未定式极限问题才能用洛必达法则，非未定式极限要用四则运算或其他方法。对于未定式极限，若干次使用洛必达法则以后，如果已经化为非未定式，就不能使用洛必达法则。
2、 对于其他形式未定式可通过恒等变形，化为基本型，可使用洛必达法则求极限。
3、 在使用洛必达法则是，如果把等价无穷小代换、代数、三角运算和洛必达法则结合起来，可简化运算过程。
4、 洛必达法则使用前后都注意分离因式，把具有非零极限的因子提出极限号外，及时求出极限，再对余下式子求极限。