偏微分一维热传导问题.doc

偏微分大作业

一维热传导方程问题
——运用隐式格式求解数值解

目录
问题描述 3
1 解析解——分离变量法 3
2 数值解——隐式格式 5
3 证明隐式格式的相容性与稳定性 5
4 数值解——分析与Matlab实现 6
5 数值解与解析解的比较 9
6 随时间变化的细杆上的温度分布情况 11
7稳定后细杆上的温度分布情况 12
参考文献 13
附录 14

有限长杆的一维热传导问题
问题描述
一根单位长度的细杆放入100℃的沸水中，当细杆的温度达到100℃时取出。假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0℃的冰水中。一维热传导方程：，现在令，从而可知本题：。现在要求细杆温度分布：。
1 解析解——分离变量法
热传导偏微分方程：
(1)

其中，

首先令：
(2)
将(2)式带入(1)式得：

于是可得：

可以得到两个微分方程：

先求解空间项：
当时，
由于
可知:由于解的收敛性，

则此时是平庸解。
当时，

则此时是平庸解。
当时， ，其中。

所以，，
因为
所以，，
则，

初始条件：

最终，
，
2 数值解——隐式格式
目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。这里使用隐式格式。
利用，关于t进行向前差商： ；关于x进行二阶中心差：；
代入偏微分方程可以得到隐式差分格式：
（1）
3 证明隐式格式的相容性与稳定性
（1）相容性

代入隐式格式得：
(2)
将（2）与原微分方程相减，得到截断误差：

所以此隐式格式与原微分方程相容。

（2）稳定性
令网格比为，则可以将（1）式改写得到：
（3）
首先令：
（4）
将（4）代入（3）式，根据欧拉公式化简得：
（5）
故得放大因子是：

所以根据Fourier方法，隐式格式恒稳定。

4 数值解——分析与Matlab实现
（1） 边值与初值离散化
将边值与初值离散化，与式（3）联立得差分线性方程组：

，

，
再将方程组改写成的形式：

本题的边界条件均为零。所以可以将上式改写。

（2） Matlab的实现
Ø 杆长1米，时间2秒。
设计空间步长h=0.1和时间步长t=0.01，网格比是。
从而得到划分的空间网格点数是M1+1，时间网格点数是M2+1。先设初始的温度矩阵U(M2+1,M1+1)。再将边界条件和初始条件编写到表示温度分布的矩阵中。具体代码可见最后附录。

Ø 编写矩阵A
核心代码：对角线：A(i,i) = 1+2r
对角线的右方和下方：A(i,i+1) = -r;
A(i+1,i) = -r;

Ø 下面就要运用进行迭代。
当k=1时，A*U(2,j)=U(1,j)
当k=2时，A*U(3,j)=U(2,j)
当k=3时，A*U(4,j)=U(3,j)
以此迭代下去直到k=M2。就可以得到整个温度随时间和空间的分布矩阵U。
Ø 数值解画图，如图1(a)和图1(b)所示。

图1(a) 数值解的温度分布图
现在将着色平稳过渡。

图1(b) 着色平稳过渡的数值解的温度分布图
5 数值解与解析解的比较
Ø 首先，我们需要将解析解离散化，解析解中有一项，当n越来越大时，会快速趋于0，故我们可以取n=8000。现在来证明可行性，在matlab里的工作空间运算。

将解析解的温度分布画出来，数值解画图，如图2所示。

图2 解析解的温度分布图

将数值解与解析解相减，得到误差图。如图3(a)和图3(b)，我们从图3(a)上可以看出空间上的误差，在边界处误差比较大。

图3（a） 数值解与解析解空间误差
我们从图3(a)上可以看出时间的误差，在时间的最开始，处误差最大，然后又有一个小的波动，最后就误差渐渐变小，最后趋于0。

图3（b） 数值解与解析解时间误差
6 随时间变化的细杆上的温度分布情况
从数值解的温度分布三维图，如图4(a)和图4(b)可以看出随着时间的增加，细杆温度下降最后趋于0℃。
从物理角度来说：细杆的温度会不断地向两端扩散，热量会慢慢散失，最终随着时间的增加，细杆的温度会趋于0℃。

图4(a) 细杆温度随时间的变化图

现取细杆中心处一点，观看它随时间的温度变化情况。

图4(b) 细杆中央（x=0.5）温度随时间的变化图
7稳定后细杆上的温度分布情况
从图像上可以看出，最后稳定的情况下，细杆的温度是0℃。

参考文献
[1] 冯立伟．热传导方程几种差分格式的MATLAB数值解法的比较[J]．沈阳化工大学，辽宁沈阳．2011(6)．
[2] 一维热传导方程数值解法及Matlab实现[EB/OL]．2014-11-20

附录
代码：
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%此程序用于解决一维热传导方程:ut-a^2uxx = 0 %
%边界条件：u(0,t) = u(L,t) = 0 %
%初始条件：u(x,0) = 100, x!=0和L %
% u(0,0) = 0 %
% u(L,0) = 0 %
%其中,a^2 = 1, L = 1 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc;
clear all;
%区域及划分网格
L = 1; %单位长度的细杆
T = 2; %时间
h = 0.1; %%%% 空间的划分 %%%%
t = 0.01; %%%% 时间的划分%%%%
r = t/(h*h); %网格比

%设计步长
M1 = L/h;
M2 = T/t;

%构造边界条件 %构造的矩阵：U(时间，空间）
U = zeros(M2+1,M1+1); %编程包含边值，如U(k,1)=u(0,t)
for k = 1:M2+1 %时间划分了M2份，有M2+1个节点
U(k,1) = 0; %两个边界处温度恒为零
U(k,M1+1) = 0;
end;

%构造初始条件
for j = 2:M1 %位置划分了M1份，有M1+1个节点
U(1,j) = 100;
end;
U(1,1) = 0;
U(1,M1+1) = 0;

%差分格式的矩阵形式 A*U(k+1,j)=U(k,j)
%构造矩阵A
A = zeros(M1-1);
for i = 1:M1-1
A(i,i) = 1+2*r;
end;
for i = 1:M1-2
A(i,i+1) = -r;
A(i+1,i) = -r;
end;

%构造AU=B中的B %本题边值的特殊，矩阵B大大简化了
B = zeros(M1-1,1);
for k = 1:M2
j = 2:M1;
B(j-1,1) = U(k,j);
x = A\B;
for j = 2:M1
U(k+1,j) = x(j-1); %k+1时刻的不同位置的温度分布
end;
end;

%作图
x = 0:h:1;
y = 0:t:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1);
surf(xx,yy,U);
shading flat
title('一维热传导方程--数值解--温度分布图');
xlabel('位置x');
ylabel('时间t');
zlabel('温度T');

figure(2)
s = 0;
for i= 1:8000
s = s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*sin(i*pi*xx).*exp(-i^2*pi^2*yy);
end;
surf(xx,yy,s);
title('一维热传导方程--解析解--温度分布图');
xlabel('位置x');
ylabel('时间t');
zlabel('温度T');

figure(3)
x = 0:h:1;
y = 0:t:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
dd = U-s;
surf(xx,yy,dd);
title('一维热传导方程--误差--温度分布图');
xlabel('位置x');
ylabel('时间t');
zlabel('误差（数值解减解析解）');

figure(4)
z = zeros(M2+1,1);
if mod((M1+1),2)~=0
i = 1:M2+1;
z(i,1) = U(i,M1/2);
else
i = 1:M2+1;
z(i,1) = U(i,(M1+1)/2);
end;
plot(z);
title('温度随时间增加的趋势图');
xlabel('时间t');
ylabel('温度T');