2.1.10微分方程初步.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
2.1.10 微分方程初步（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 微分方程的一般概念。
2、 一阶微分方程。
3、 几类特殊的高阶微分方程。
重点
微分方程的一般概念、一阶微分方程。
难点
一阶微分方程。
教
学
方
法
手
段
讲练结合。
主
要
内
容
时
间
分
配
一、 微分方程的一般概念。 （30分钟）
二、 一阶微分方程。 （30分钟）
三、 几类特殊的高阶微分方程。 （30分钟）

作业

备注

1
2.1.10 微分方程初步
新编经济应用数学
§2.1.10 微分方程初步
常微分方程是高等数学的一个重要组成部分，利用它可以解决许多几何、力学以及物理等方面的问题。本章将介绍常征微分方程的一些基本概念和常见的一些简单微分方程的解法。
一、微分方程的一般概念
微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程。通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系。 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 本节我们主要介绍微分方程的一些基本概念。
1．引例
利用函数关系，我们可以对客观事物的规律进行研究，但在许多实际问题中，无法直接求得与问题有联系的那些量的函数关系，而只能借助于含有未知函数的等式求得。例如大家在高中的学习中，经常会遇到这样的问题：已知满足，求。上式是一个含有未知函数的等式，即函数方程。在此，借助于解代数方程的方法不难求得，通常我们把含有未知函数的等式叫做函数方程。
【例1】一平面曲线上任意一点处的切线的斜率等于该点处横坐标的平方，且曲线过点，求此曲线方程。
解：设所求的曲线议程

为，由导数的几何意义可知：曲线在点处的切线的斜率，依题意应满足方程
（1）
且满足：当时，。此条件可写成
（2）
将（1）式化为，即
（3）
其中C是任意常数。将条件（2）代入（3）式，有。所以所求曲线方程为
例1中（1）式也是函数方程，但与前例不同的是，（1）式中含有未知函数的导数，我们称这种方程为微分方程。
2．微分方程的定义
定义1 含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程。本书中只介绍常微分方程的有关知识，故以后所述的微分方程即指常微分方程。
例如
以及 都是微分方程。与（1）式不同的是它们分别出现了未知函数的二阶与三阶导数。
定义2 微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分议程的阶。若一个微分方程的阶为，则称这个微分方程为阶微分方程。
3．微分方程的解
在例1中将（1）式中的

未知函数用已知函数代替，则（1）式两边成为恒等式，我们可把叫做方程（1）的一个解。
定义3 如果把一个函数代入微分方程后，方程两边成为恒等式，那么就称这个函数为该微分方程的一个解。求微分方程的解的过程，叫做解微分方程。
在例子中，（3）式也是方程（1）的一解，其含有一个任意常数C，它是该方程的全部解的共同表达式，故称为该微分方程的通解。
又如是方程的解，并且它含有两个独立的任意常数。以后将知道，它是该方程的全部解的共同表达式，故也称为这个方程的通解。
定义4 如果一个微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数等于该微分方程的阶数，那么这个解叫做该微分方程的通解。通解中的任意常数每取一组特定的值所得到的解，叫做该微分方程的一个特解。
在例子中通过条件确定了通解是的常数，我们把条件叫做该方程初始条件。一般地，一阶微分方程的初始条件为：
二、一阶微分方程
微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同。从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法。 本节我们将介绍可分离变量的微分方程和一阶线性微分
方程。一阶微分方程有许多种形式，这里我们只研究可化为下列形式的一阶微分方

（一）、可分离变量的微分方程
一般地，我们把形如
（1）
或
（2）
的方程叫做可分离变量的一阶微分方程，简称可分离变量的方程。
对可分离变量的方程我们可采用“分离变量”、“两边积分”的方法求得它的解。如对方程（1）可按下列步骤求解：
（1）分离变量 当时，方程（1）可化为
（2）两边积分
若，则可得方程（1）的通解（3）
或化为显形式为 （若有反函数）。
【例2】求方程的通解。
解 原方程可化为，它是可分离变量方程。
分离变量得
两边积分得
计算积分可得原方程的通解为
即

【例3】求方程满足初始条件的特解。
解 将方程变形为

分离变量得
两边积分得
计算积分可得
或 （此处为大于零的任意常数）
因此，原方程的通解是 （C为任意常数）
将条件代入上式得.故原方程满足初始条件的特解是

在例3中，两边积分时出现了表达式，为去对数可令，即，这里C仍取任意常数。
在解微分方程时，经常会遇到方程的通解为的情况，可直接将其化为。对此，以后不再加以说明。
在一些实际问题中遇到的微分方程可能不是可分离变量的微分方程，但可通过适当的变换将其化为可分离变量的方程。形如的方程若不是可分离变量方程，则可通过变换化为可分离变量的微分方程。一般地，

我们把方程叫做一阶齐次微分方程。
在方程（4）中作变换，则可得，此时方程（4）可化为

该方程是可分离变量方程，因此可求其通解，进而可求得方程（4）的解。
【例4】一曲线上任一点处的切线与直线OP所成的解为，且过点，求该曲线方程。
解 设曲线方程为，由导数的几何意义可知：曲线在点处的切线的斜率为，而直线OP的斜率为，依题意可得，因此可得
此方程为一阶齐次方程。可作变换，即，此时，将其代入上式得 即
这是以为未知函数的可分离变量方程，分离变量可得
两边积分可得其通解为

回代可得原方程的通解为
将初始条件代入上式可求出，因此所求曲线方程为

（二）、一阶线性微分方程
形如 （5）的方程叫做一阶线性微分方程，其中为已知函数。
当时，方程（5）即为 （6）称为一阶线性齐次方程。相应的时，方程（5）称为一阶线性非齐次微方程。
不难看出，一阶线性齐次微分方程是可分离变量方程，分离变量得，两边积分可得其通解为 （7）其中C是任意常数。
注意 在中，仅表示的一个原函数。在以后所给出的微分方程的通解公式中积分表达式均如此，不再说明。
为了求方程（5）的通解，我们采用微分方程中常用的“常数变易法”，即将（7）式中的常数C用函数代替，并设是方程（5）的解，代入方程（5）可整理得 即
两边积分得
将其代入便得方程（5）的通解为
（8）
以上我们利用“常数变易法”解出了一阶线性非齐次微分方程的通解，在具体解题中并不要求仅用此方法来求解一阶线
性非齐次微分微分的通解。方程（5）的通解可化为

（9）
此式中等号右端第一项是一阶线性齐次微分方程的通解，而第二项是一阶线性方程的通解所具有的特点。我们可按下列步骤求一阶线性非齐次微分方程的通解：
第一步：将方程化为一阶线性非齐次微分方程的标准形式；
第二步：求出方程中的；
第三步：计算积分
第四步：计算积分；
第五步：由公式（9）写出原微分方程的通解。
【例5】求微分方程的通解。
解 因为 。

计算积分
由公式（8），原方程的通解为
=
即
【例7】求方程

满足初始条件的一个特解。
解 原方程可化为
此方程为一阶线性微分方程，其中

计算积分
所以原方程的通解为。
将初始条件代入上式可得。所以，所求特解为

在利用公式（9）解一阶线性微分方程时，注意到与中的互为倒数，可使计算更为简便。
【例8】一跳伞队员质量为，降落时空气的阻力与伞下降的速度成正比，设跳伞队员离开飞机时的速度为零。求伞下降的速度关于时间的函数。
解 设跳伞队员离开飞机秒时，其速度为，则该时刻所受阻力，此时受重力为。由牛顿第二定律知：满足微分方程，且由跳伞队员离开飞机时的速度为零得，所以此问题化为求解下面的初值问题：
方程为一阶线性非齐次微分方程，其通解为

，将条件代入可得，故所求函数为
由此我们可分析出：队员离开飞机后，开始阶段是在加速运动，经过一段时间后逐渐趋近于匀速运动。
三、几类特殊的高阶方程
上一节介绍了简单的一阶微分方程的解法，而我们把二阶及二阶以上的微分方程叫做高阶微分方程。
本节将介绍几类特殊的高阶微分方程，这些方程在力学的应用方面经常出现，它们的解往往可以利用变量代换来降阶的方法求得。
（一）、型
方程 （1）
的解可以通过逐次积分得到，下面仅以一例加以说明。
【例9】解方程 。
解：对方程两边逐次积分：

或
（二）、型
方程 （2）
中不显含未知函数，此方程只要作变换则，将其代入（2）式可得

此为以为未知函数的一阶微分方程，若可求得其解为即则原方程的通解为

【例10】解方程。
解：设则，将其代入方程后可得

此方程为可分离变量方程，分离变量得

解得其通解为

从而有，再积分可得原方程的通解为

（三）、型
方程
（3）
中左端不显含，若作变换则

将其代入（3）式可得一阶微分方程

若可求得其通解则由可得即

因此原方程的通解为

【例11】解方程，其中。
解： 令，则，代入方程后有

或

由得，此时可解得；
由，可得，两边积分后有

从而。
因为，所以有。由此可解得，即

因此，原方程的通解为以及。
注意：此方程的通解有两个表达式，且它们不可相互取代。
（四）二阶线性微分方程
在工程及物理问题中，遇到的高阶方程很多都是线性方程，或者可化简为线性方程。二阶线性方程的一般形式为

（1）
其中、及是已知函数，、叫做系数函数，叫做自由项。当、为常数时，方程
（2）
叫做二阶常系数线性微分方程。
本节讨论二阶线性方程，二阶常系数线性齐次微分方程及其解法，二阶常系数线性非齐次微分方程。
1． 线性微分方程解的结构定理
以下所述二阶线性微分方程的解的结构定理，是以常系数线性微分方程（2）为例，其所有结论，对方程（1）都成立。
在方程（2）中，若，则方程
（3）
叫做二阶常系数线性齐次微分方程，相应的时，方程（2）叫做二阶常系数线性非齐次微分方程。以上两方程简称为线性齐次方程和线性非齐次方程。
定理1 设是线性齐次方程（3）的解，则也是该方程的解。其中是任意常数。
证明：因为是线性齐次方程（3）的解，所以有

把代入（3）式可得

即 是线性齐次方程（3）的解。
定理1表明：若是线性齐次方程的解，则它们的线性组合也是该线性齐次方程的解。

定理2 设是线性齐次方程（3）的两个线性无关解，即
则就是这个方程的通解。
证明：（略）
注意 是线性无关的假设是必要的，它可保证中这两个常数是相互独立的，进而可保证构成线性齐次微分方程的通解。
定理2表明：求线性齐次微分方程的通解，只要求得它的两个线性无关解即可。
定理3 设是线性非齐次方程（2）的解，是相对应的线性齐次方程（3）的解，则也是方程（2）的解。
证明： 因为，分别为（2），（3）的解，所以应有

将代入（3）有

所以也是方程（2）的解。
由定理2与定理3不难得到下面的结论。
定理4 设是线性非齐次微分方程的一个特解，是相应的线性齐次方程的两个线性无关解，则

是线性非齐次方程的通解。
定理4表明：求线性非齐次方程的通解，只要求得相应的线性齐次方程的通解，再求出线性非齐次方程的一个特解

即可。
【例12】验证是方程的两个解，并写出方程的通解。
解：因为，所以，即是方程的解。
同理可知：也是该方程的一个解。又

所以与线性无关，由定理2可知

是的通解（，为任意常数）。
【例13】验证是方程的一个特解，并求该方程的通解。
解 因为，所以

即是方程的一个特解。
由于的相应齐次方程为，由例1可知

是所求方程的通解。
2．二阶常系数线性齐次方程的通解
观察方程（3）的左端结构，以及指数函数的导数的特点，我们可设想方程（3）有形如形式的解，将它代入方程（3）并整理可得

因为，故必有

（4）
由此可知，当是一元二次方程（4）的根时，就是方程（3）的一个解。
我们称方程（4）是方程（3）的特征方程，它的根叫做方程（3）的特征根。
下面将通过特征方程的根的不同情形，给出二阶常系数线性齐次微分方程的通解表达式。
（1）若，设是方程（4）的两个实根，则。此时都是方程（3）的解，且，所以方程（3）的表达式为

为任意常数。
【例14】求微分方程的通解。
解 所给方程的特征方程式，解得特征根为，所以，原微分方程的通解是

（2）若，设是方程（4）的根，即是特征方程的重根。
此时是方程（3）的解。为求其通解，可设与线性无关，即也是方程（3）的一个解，将其代入方程（3）并整理可得

因为，注意是方程（4）的重根，故有

，因此可得。
取，可知也是方程（3）的解，且与线性无关。此时方程（3）的通解表达式为

【例15】求方程满足初始条件的一个特解。
解 所给方程的特征方程为，特征根为，所以微分方程的通解是

将代入得；对上式求导有

将代入得。所以原微分方程的特解为

（1） 若，设是特征方程（4）的根，则，此时，是方程（3）的解。由欧拉（Euler）公式，此解可化为

令，将代入方程（3）应有

因是实函数，故与必都为实数，由复数的性质应有

以上说明，都是线性齐次方程（3）的解，且，因，所以与线性无关，从而可知，此时方程（3）的通解表达式为

【例16】求方程的通解。
解 特征方程为，特征根，因，故所给微分方程的通解是

根据上述讨论，求二阶常系数线性齐次方程同阶的步骤如下：
第一步：写出对应的特征方程；
第二步：写出特征根；
第三步：由特征根的情况写出其通解。
(五) 、二阶常系数线性非齐次微分方程的特解
有前面的讨论，二阶常系数线性齐次方程的通解以可求得，所以下面只要研究线性非齐次方程的一个特解求法即可。
1. 自由项时特解的讨论
由于二阶常系数线性非齐次方程中的自由项的不同，方程的特解得求法也不同。这里对的最一般形式，即加以讨论，给出求解方法，进而可得出几类常见的特殊类型自由项的特解求法。
不难想象，方程
（5）

的特解的形式仍然是多项式与指数函数的乘积。因此，我们假设是方程（5）的解，将其代入方程（5）并化简整理可得
（6）
上式为恒等式，左端必为次多项式，因此可分下列三种情况，来确定的次数及系数。
(1) 当不是特征方程的根时，必为次多项式，此时可设

为方程（5）的一个特解，必须满足方程（6）。将代入（6）式即可确定出的系数。
（2）当是特征根，且为单根时，由于，但，所以必为次多项式，从而必为次多项式，此时可设

为方程（5）的一个特解，将代入方程（6）式即可确定的系数。
（3）当是特征根，且为重根时，由于，且，所以必为次多项式，从而必为次多项式，此时可设

为方程（5）的一个特解，将代入方程（6）式即可确定的系数。

有了以上的一般性讨论，对和的不同取值，我们可求出自由项为不同形式的微分方程的特解。下面举例说明的几种简单形式特解得求法。
当时，自由项。此时方程（5）的特解可设为

【例17】求方程的一个特解。
解 特征方成为，其特征根为。由于不是特征根，且为一次多项式，故可设原方程的特解为

将其代入原方程有

比较两边系数得

解得。于是所求方程的特解为

注意 当时，将所设特解代入原方程即可。
当时，自由项。此时方程（5）的特解可设为

【例18】求的一个特解。

解 特征方成为，其特征根为。因是特征方程的单根，故设方程的特解为

将代入（6）式得，解得。所以原方程的一个特解为

【例19】求的通解。
解 特征方成为，特征根为，于是相应的齐次方程的通解是

由于是特征方程的重根，而为一次多项式，故应设原方程的特解为

将代入（6）式，并注意此时，因此有

比较系数可得。故原方程的一个特解为

其通解是
通过以上两例可得出二阶常系数线性非齐次微分方程中，自由项中当为实数时，其特解的求解步骤如下：
第一步：写出特征方程，并求出特征根；
第二步：判明是否为特征根，据此设出特解

；
第三步：将多项式代入（6）式确定其系数（或时代入原方程即可）；
第四步：写出原方程的特解。
2. 自由项或时的求解举例
当自由项或时，不难想象，方程（2）的解的形式应为与的“线性”组合，故其特解可设为

或
【例20】求方程的一个特解。
解 特征方程为，其特征根为。因不是特征方程的根，故可设方程的特解为将其代入原方程可得
或 整理可得
比较系数有，解方程得。因此原方程的特解为

【例21】求方程的一个特解（）。

解 特征方程为，特征根为。因为，是特征方程的根，此时应设特解为

将其代入原方程可得

整理得

比较系数应有

从而解得
所以原方程的特解为

由以上两例可看到：当方程（3）的自由项或时，其特解求解步骤如下：
第一步：写出特征方程，并求出其特征根；
第二步：判明是否为特征根，若不是，则设特解为

若是，则设特解为
其中为待定系数；
第三步：将所设特解代入原方程并化简整理为与的“线性”组合；
第四步：比较两端与的系数，确定的值；
第五步：写出原微分方程的特解。

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2.1.10 微分方程初步