空间的曲线及其方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民高等数学高等数学北京工商大学北京工商大学北京工商大学北京工商大学杨益民杨益民杨益民杨益民10/10/1 1第1页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民回顾回顾1.三元方程三元方程 F(x,y,z)=0表示空间一张曲面表示空间一张曲面S。2.表示一张球面。表示一张球面。3.表示空间一张平面。表示空间一张平面。4.yoz平面上母线平面上母线 绕绕oz轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面5.xoy平面上准线方程平面上准线方程 母线平行于母线平行于 z 轴轴柱面方程为：柱面方程为：10/10/2 2第2页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程所表示曲面称为三元二次方程所表示曲面称为二次曲面二次曲面。目标：目标：利用利用截痕法截痕法讨论二次曲面形状。讨论二次曲面形状。即：用坐标面和平行于坐标面平面与曲面相截，考查其交线即：用坐标面和平行于坐标面平面与曲面相截，考查其交线（即截痕）形状，然后加以综合，从而了解曲面全貌。（即截痕）形状，然后加以综合，从而了解曲面全貌。（一）椭球面（一）椭球面10/10/3 3第3页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民椭球面几个特殊情况：椭球面几个特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 或或 绕绕z轴旋转而成。轴旋转而成。球面球面方程可写为方程可写为10/10/4 4第4页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民（二）抛物面（二）抛物面（p与与q同号）同号）（1）椭圆抛物面）椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 xoy(z=0)去截；去截；设设p与与q都大于零。都大于零。（2）用平面）用平面 去截；去截；（3）用坐标面）用坐标面 xoz 或或 yoz 去截；去截；（4）用平面）用平面 去截；去截；yoxz10/10/5 5第5页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民zxyo椭圆抛物面图形以下：椭圆抛物面图形以下：xyzo特殊地：当特殊地：当p=q时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面10/10/6 6第6页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民（2）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）(p与与q同号同号)用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设xzyo10/10/7 7第7页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面 xyoz（1）zoxy.10/10/8 8第8页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民双叶双曲面双叶双曲面xyo（2）xoyz10/10/9 9第9页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民空间曲线普通方程空间曲线普通方程空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面交线：可看作空间两曲面交线：注意：注意：空间曲线曲线方程空间曲线曲线方程 不是唯一。不是唯一。一、空间曲线普通方程一、空间曲线普通方程第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程C10/10/1010第10页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例1 1 以下方程组表示怎样曲线？以下方程组表示怎样曲线？10/10/11 11第11页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例2 2 方程组方程组 表示怎样曲线？表示怎样曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图。交线如图。10/10/1212第12页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民空间曲线参数方程空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程（2）消去参数消去参数t，可得到两个柱面方程，所以，可得到两个柱面方程，所以空间曲线参数空间曲线参数方程方程也可视为两张柱面交线。也可视为两张柱面交线。注：注：（1）伴随参数伴随参数t 改变可得到曲线上全部点改变可得到曲线上全部点(x,y,z)。例例3 3 设空间一动点设空间一动点M在圆柱面在圆柱面 上以角速度上以角速度绕绕z轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴旋转，同时又以线速度沿平行于z轴正方向上升，试求该轴正方向上升，试求该动点动点M运动轨迹方程。运动轨迹方程。10/10/1313第13页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民螺旋线参数方程螺旋线参数方程取时间取时间t为参数，动点为参数，动点M从从A(a,0,0)点出发点出发解解经过经过t 时间，运动到时间，运动到M(x,y,z)处处在圆在圆 上，上，所以所以10/10/1414第14页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民螺旋线参数方程还能够写为螺旋线参数方程还能够写为螺旋线主要螺旋线主要性质性质：上升高度与转过角度成正比，上升高度与转过角度成正比，即即上升高度上升高度螺距螺距Pyz0 xatMNQ螺距螺距10/10/1515第15页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影1.空间曲线空间曲线C 投影曲线与投影柱面投影曲线与投影柱面CSCxyozC称为称为曲线曲线C在在xoy平平面上面上投影曲线投影曲线。S称为称为曲线曲线C关于关于xoy平平面面投影柱面投影柱面2.空间曲线空间曲线C 投影曲线与投影柱面方程投影曲线与投影柱面方程设空间曲线设空间曲线C普通方程：普通方程：10/10/1616第16页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民消去消去z得：得：表示：以曲线表示：以曲线C(或或C)为准线，母线平行于为准线，母线平行于z轴柱面轴柱面曲线曲线C关于关于xoy平面平面投影柱面投影柱面。表示：曲线表示：曲线C投影柱面与投影柱面与xoy平面交线平面交线曲线曲线C在在xoy平面平面上上投影曲线投影曲线。类似地：可定义空间曲线在其它坐标面上投影类似地：可定义空间曲线在其它坐标面上投影面上面上投影曲线投影曲线面上面上投影曲线投影曲线10/10/1717第17页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民如图如图:投影曲线研究过程投影曲线研究过程空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面10/10/1818第18页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上投影。在坐标面上投影。解解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上投影为面上投影为10/10/1919第19页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民所以在所以在xoz面上投影为线段面上投影为线段:（3）同理在）同理在yoz面上投影也为线段面上投影也为线段:（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，10/10/2020第20页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民截线方程为截线方程为解解xyz10/10/2121第21页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民补充补充:空间立体或曲面在坐标面上投影空间立体或曲面在坐标面上投影.空间立体空间立体曲面曲面10/10/2222第22页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例6 6 设一个立体由上半球面设一个立体由上半球面 和锥面和锥面解解半球面和锥面交线为半球面和锥面交线为 所围成，求它在所围成，求它在xoy平面上投影。平面上投影。10/10/2323第23页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民思索题思索题求椭圆抛物面求椭圆抛物面 与抛物柱面与抛物柱面 交线关于交线关于xoy平面投影柱面和在平面投影柱面和在xoy平面上投影曲线方程。平面上投影曲线方程。解解交线方程为交线方程为在在xoy面上投影为面上投影为10/10/2424第24页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民 1.解解yxzo得得交线交线L：由由例例710/10/2525第25页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民z=0.1yxzo解解L.得得交线交线L：.投影柱面投影柱面由由例例710/10/2626第26页高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民z=01yxzoL10/10/2727第27页