2.2基本不等式：教学设计(2课时).docx

2.2基本不等式
教学设计（2课时）

教学内容分析：相等关系和不等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，是构建方程、不等式的基础。基本不等式是研究不等关系的一种重要形式，从数与运算的角度， 是两个正数 的“算术平均数”， 是这两个正数的“几何平均数”。因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算，从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“同圆中，弦长不大于直径”都是基本不等式的直观理解，基本不等式是正数的几何平均数不大于它们的算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广到 个正数的几何平均值不大于它们的算术平均值。
新课标和旧课标要求对比：对于基本不等式的要求，新课标和旧课标都要求但要求不同，从探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，到掌握基本不等式，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.新课标相对于旧课标，其要求从探索并了解改为了理解，提高了要求，同时强调了结合具体实例解决最值问题，体现了不等式的应用性。
基本不等式的证明或推导方法很多，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式，从几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释，这些方法也是代数证明和推导的典型方法。 对于基本不等式的证明，旧课标要求较低，教学时也不必加深，在后续学习“选修2-2”中的推理与证明、“选修4-5”中的不等式选讲时得到加强；新课标中并没有安排推理与证明和不等式选讲的内容，而是对基本不等式这部分内容提高了要求。
基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值与最小值，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，因此，基本不等式内容的学习可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养。新课标要求，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在求解实际问题的最值中的作用。
教材安排方面，基本不等式旧课标是安排在人教A版必修5第三章第4节，是在学完不等式的性质、不等式的解法、二元一次不等式组与简单线性规划的基础上对不等式作进一步的研究，新课标没有安排二元一次不等式组与线性规划这部分内容，而是安排在人教A版必修一第二章第2节，是在学完不等式的性质的基础上对不等式进一步的研究。
学情分析：对农村高中高一的学生来说，学生有一定观察分析、解决问题的能力，但缺少代数式证明的经验，对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约，学习自信心不足。根据以上特点，采取“以问题为导向，低起点、小步走、层层推进”的教学策略，通过教师恰当引导，带领学生直接参与分析问题、解决问题。提高学生学习主动性，同时让学生体验成功的喜悦，树立学好数学的信心。
教学目标：
1. 知识与能力:
1. 知道基本不等式的内容：基本不等式就是“两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数”，理解基本不等式的“结构不变性”和“字母的可变性”
2. 会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何解释
3. 能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式解决简单的最值问题
2. 过程与方法：
1. 经历基本不等式的推导过程，学习代数式证明的思想方法，培养合情推理的能力
2. 通过理解基本不等式的几何解释，体会数形结合的数学思想
3. 在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模素养
（三）情感态度价值观：在探究的过程中，体会数学的严谨性和实用性
教学重点：
1. 掌握基本不等式的定义、几何解释和证明方法
2. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。
教学难点：
1. 基本不等式的证明
2. 应用基本不等式求简单的最值
教学方法与手段：
1. 教学方法：探究式教学
2. 教学手段：信息技术（几何画板）
教学过程设计
1. 基本不等式的定义
【情景导入】
问题1：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么是否有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？
问 题2：不等式 对任意的实数都成立吗？
（ 学生回答，教师引导学生共同用作差法写证明过程）
总结：一般地，对于任意实数 ，我们有
当 且仅当 时，等号成立.通常我们称之为重要不等式.
（教师引导学生归纳总结，教师板书）
【 学导结合】
问 题3：在 中，分别用 代替式中的 可得什么？
取得等号的条件是什么？请简单说明理由
回 答：由推导过程可知 ，当且仅当 时等号成立，由不等式的性质可得：

小 结：如果 那么 ，当且仅当 时，等号成立.通常我们称之为基本不等式.（教师板书 )
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，问题3让学生理解基本不等式的来源，突破重点和难点。
（ 二）基本不等式的证明
问题4：能否利用不等式的性质，直接推导出 ？
我们来分析一下.（师生共同完成分析法的证明过程）
设计意图：问题4在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，用代数证明方法，利用不等式的性质直接推导这个不等式.实现从感性认识到理性认识的升华.
3. 基本不等式的几何解释
【探究深化】
探 究：如图， 是圆 的直径， 点是 上一点，
过点 作垂直于 的弦 ，连接
,你能利用这个图形，得到基本不等式的几何解释吗？
1. 半 径
2. （为什么？）
3. 显 然 （为什么？）
（学生小组探究后口头回答，教师用几何画板演示）
小结：基本不等式的几何解释：同圆中，半径不小于弦长的一半（圆中直径不小于任意一条弦，当且仅当弦过圆心时，二者相等）。
设 计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里给出了几何图形，引导学生将 和 与图形中的几何元素建立起联系，再观察这些

几何元素在变化中表现的大小关系的规律，从而获得基本不等式的几何解释。探究的目的是借助初中阶段学生熟知的几何图形，通过数学运算，引导学生探究基本不等式的几何解释，数形结合，赋予不等式几何直观，进一步领悟不等式中等号成立的条件，升华理解.
4. 基本不等式的简单应用
例1：
问1：
学生思考后回答，教师总结：
问2：本题中要求最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式来求？如果能，如何求？
学生思考后回答，教师总结：本题中要求的代数式是 和的形式，而且 ，所以可以利用基本不等式求解。
问3：在上述解答过程中，是否必须说明
学生思考后回答，教师总结： ，这样的 是存在的，此时对应代数式的值 是可以取到的，即代数式的最值必须是代数式能取到的值！
问4：通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？
学生思考后回答，教师总结：代数式①能否转化为两个正数的和或积的形式，②它们的和或积是否是一个定值，③不等式中的等号是否能取到，通俗地说，就是“一正二定三相等”，三者缺一不可！
设计意图：通过例1,应用基本不等式求代数式最值问题中的简单情形，让学生体会如何从“形式上”利用基本不等式解决问题，明确基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，同时规范解题模板。
强化训练：判断下列3个命题是否正确，请简单说明理由.
（ 1） 函数 的最小值为

（ 2）若 且 则

3. 函 数 的最小值是

设计意图：强化练习是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生在对基本不等式的作用有了初步体会的基础上，进一步领悟到使用不等式应该满足的条件约束.这里放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结.
注意：利用基本不等式求最值时的条件：一正二定三相等
（教师引导，学生自主完成，学生先总结，教师后归纳）

（学生先独立思考，教师精讲例题并板书解答过程）
归纳小结：对于两个正实数
如 果它们的和 是定值，当且仅当 时，它们的积 取得最大值；（和定积最大）
如 果它们的积 是定值，当且仅当 时，它们的和 取得最小值.（积定和最小）
设计意图：通过例2，给出应用基本不等式解决问题的数学模型，根据这两个数学模型，可以得到能够用基本不等式解决的两类最值问题，即：
“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值”
“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值”
例3 ：（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
（ 2）一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
设计意图：通过例3，归纳利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：①简化问题情境：当矩形面积为定值时，长、宽取值多少时周长最短；当矩形周长为定值时，长、宽取值多少时面积最大；②分析问题中的变量是否符合基本不等式对应的两类最值问题：“和定积最大”，“积定和最小”③设变量，把实际问题转化为基本不等式模型，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数；④建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题；⑤在定义域内，求出函数的最大值或最小值，获得实际问题答案.
【总结反思】引导学生回顾本节内容，回答以下问题：
1. 什么是基本不等式？如何推导基本不等式？
2. 基本不等式的代数特征是什么？几何解释是什么？
3. 基本不等式的使用条件是什么？如何利用基本不等式解决最值问题？需要注意什么？
4. 本节课有哪些数学思想方法？
设计意图：通过反思进行小结归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.
布置作业
课本48页习题2.2.1、2、3
思考题：水管为什么做成圆柱形？
设计意图：作业分为两种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同时考虑学生的差异性.思考题不作要求，供学有余力的学生课后研究.
（字数：3987）
参考文献：
1. 人民教育出版社，普通高中教科书数学（必修第一册）
2. 中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）
3. 何小亚，中学数学教学设计案例精选，科学出版社

-全文完-