2021-2022学年高中数学-2-一元二次函数、方程和不等式-2.2-第1课时-基本不等式课后素养.doc

2021-2022学年高中数学 2 一元二次函数、方程和不等式 2.2 第1课时 基本不等式课后素养落实新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 2 一元二次函数、方程和不等式 2.2 第1课时 基本不等式课后素养落实新人教A版必修第一册

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姓名：

课后素养落实(十二)　基本不等式
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的是(　　)
A．ab>0　 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
ACD　[当且仅当＝>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD.]
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a－b<0 B．0<<1
C.< D．ab>a＋b
C　[∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立．]
3．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
A　[由a＋b≥2可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤
2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab.故选A.]
4．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t　 B．s>t
C．s≤t D．s<t
A　[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s.]
5．已知a，b是正实数，则下列各式中不一定成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B．＋≥2
C．≥2 D．≥
D　[由≥得a＋b≥2，
∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．]
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
≤　[∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
36　[y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时函数取得最小值4.又由已知x＝3时，ymin＝4，
∴＝3，即a＝36.]
三、解答题
9．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
[证明]　＋＝＋
＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
[证明]　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.

1．(多选)设0<a<b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．a2＋b2<b B．a<a2＋b2
C．a<2ab< D．<a2＋b2<1
ABCD　[由0<a<b，a＋b＝1，得0<a<<b<1.对于A，将a＋b＝1两边平方，整理得a2＋b2＝1－2ab＝b＋a－2ab＝b＋a(1－2b)．又<b，所以1－2b<0，所以a2＋b2<b，所以A正确．对于B，<b⇒1<2b⇒a<2ab<a2＋b2，所以B正确．对于C，由B知a<2ab.又2ab<2×2＝，所以C正确．对于D，易知a2＋b2>＝.又a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b＝1，所以D正确．故选ABCD.]
2．已知a>1，则，，三个数的大小顺序是(　　)
A.<< B．<<
C.<< D．<≤
C　[当a，b是正数时，≤≤≤ ，令b＝1，得≤≤.又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，选C.]
3．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；
③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________．(填序号)
①②③　[由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；
由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4.当且仅当＝，即a＝b时，“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，恒成立的是①②③.]
4．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段________的长度是a，b的几何平均数．

CD　[在Rt△ADB中，DC为高，由△ACD∽△BCD可知CD2＝AC·CB，∴CD＝.]

(1)已知a，b，c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)；
(2)若0<x<1，a>0，b>0，求证：＋≥2.
[证明]　(1)∵≤，
∴≥＝(当且仅当a＝b时，等号成立)；
同理，≥(当且仅当b＝c时，等号成立)；≥(当且仅当a＝c时，等号成立)．
三式相加得＋＋≥＋＋＝(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
(2)∵0<x<1，∴1－x>0，
左边＝＝a2＋b2＋b2＋a2≥a2＋b2＋2＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝右边．即＋≥(a＋b)2.