基于Pythagorean Hodograph T-曲线的过渡曲线的构造.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(1),234-243 Published Online January 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.131026 文章引用文章引用:杨雪,彭兴璇.基于 Pythagorean Hodograph T-曲线的过渡曲线的构造J.应用数学进展,2024,13(1):234-243.DOI:10.12677/aam.2024.131026 基于基于Pythagorean Hodograph T-曲线的过渡曲线的过渡 曲线的构造曲线的构造 杨杨 雪，彭兴璇雪，彭兴璇*辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连 收稿日期：2023年12月19日；录用日期：2024年1月13日；发布日期：2024年1月22日 摘摘 要要 本文基于平面三次本文基于平面三次T-Bzier曲线，定义了三次曲线，定义了三次T-PH曲线，研究了曲线，研究了T-PH曲线的代数和几何特征，进而利用曲线的代数和几何特征，进而利用三次三次T-PH曲线构造了两圆互不包含的情况下的曲线构造了两圆互不包含的情况下的C型过渡曲线，给出圆心距的取值范围，并证明了过渡曲型过渡曲线，给出圆心距的取值范围，并证明了过渡曲线的唯一性。最后给出数值实例，验证了方法的可行性。线的唯一性。最后给出数值实例，验证了方法的可行性。关键词关键词 三次三次T-PH曲线，几何特征，过渡曲线曲线，几何特征，过渡曲线 Construction of Transition Curve Based on Pythagorean Hodograph T-Curve Xue Yang,Xingxuan Peng*School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian Liaoning Received:Dec.19th,2023;accepted:Jan.13th,2024;published:Jan.22nd,2024 Abstract In this paper,we define the cubic T-PH curve and study the algebra and geometric characteristic of T-PH curve.In addition,a non-circle transition curve is constructed as a C-type transition curve using cubic T-PH curve,giving the value range of the center distance,and proving the uniqueness of transition curve.Finally,numerical examples are given to verify the feasibility of the method.*通讯作者。杨雪，彭兴璇 DOI:10.12677/aam.2024.131026 235 应用数学进展 Keywords Cubic T-PH Curve,Geometric Characteristic,Transition Curve Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 Pythagorean-Hodograph(PH)曲线是 Farouki 1提出的一种特殊的多项式参数曲线。由于 PH 曲线的曲率和等距曲线是有理形式的，因此被广泛应用在计算机辅助设计、机器人行走路线、数控机器加工等领域中。到目前为止，基于一元多项式空间211,nnntttt?中的 PH 曲线已经有了比较深入的研究。文献1给出了在边角分离的条件下，三次 PH 曲线的控制多边形的几何特征。但是有理式 Bzier 模型不能准确地表示超越曲线，因此，许多学者提出了三角空间和代数双曲混合空间。文献2定义了空间21,sin,cosntttt?上的 C-Bzier 曲线，并给出三次 C-Bzier 曲线成为 PH 曲线的充要条件；文献3以三次 PH-C 曲线的代数结构为基础，给出三次 PH-C 曲线的几何特征及构造方法。文献4定义了21,sinh,coshntttt?上的 AH-Bzier 曲线，文献5在文献4的基础上，通过两种基底推导出三次 PH-H曲线的充要 条件，并给 出 PH-H 曲线的几何 构 造方法；文 献6定义了 在三角多项 式空间1,sin,cos,sin,costtntnt?上的 T-Bzier 曲线。目前三角多项式空间上的 PH 曲线尚无研究。在曲线曲面的几何造型设计中，经常涉及到 2 条曲线间的光滑拼接，即过渡曲线的构造。由于过渡曲线要求在端点处满足几何连续性，并且曲线的曲率单调变化，因此文献7定义了用积分表示的 Clothoid曲线，并将其用于公路铁路设计中。后来发现 Clothoid 曲线的表达式中含有 Fresnel 积分，计算复杂，许多学者开始对文献8提出了用三次 Bzier 曲线构造过渡曲线，但 Bzier 曲线的弧长和等距线不能表示为有理形式，在实际的几何设计中存在新的难题，为解决这一问题，文献9 10 11提出了利用五次 PH曲线构造过渡曲线，五次 PH 曲线的内部不含奇点和拐点，其曲率单调，并且曲率和等距曲线是有理形式的，因此更适用于构造过渡曲线。为了使过渡曲线构造更为简单高效，文献12利用放缩法得到了类三次 Bzier 螺线，并构造了半径比例不受限制的两圆弧间 S 型和 C 型 G2连续过渡曲线；文献13 14 15分别构造了 C-Bzier 螺线、H-Bzier 螺线和 T-Bzier 螺线，并利用这些螺线作两圆之间的过渡曲线。为了避免求解复杂的非线性方程组，文献16采用次数较低的三次 PH 曲线构造相互包含的两圆弧间 G2连续过渡曲线，文献17基于三次 PH 曲线，构造了两圆不相互包含的情况下的 C 型过渡曲线。本文主要研究了 T-PH 曲线的代数和几何特征，并用来解决过渡曲线的构造问题。结构安排如下：首先，给出 T-PH 曲线的定义，并应用平面参数曲线的复数表示法，讨论 T-PH 曲线的代数结构和几何特征；其次，基于三次 T-PH 曲线来构造不互相包含的两圆之间的 C 型过渡曲线，并证明了过渡曲线的唯一性；最后，给出数值实例。2.T-PH 曲线曲线 在三角多项式空间1,sin,cos,cos2spanttt=中可以生成一类特殊曲线 T-Bzier 曲线。定义 1 7给定平面上一组控制顶点()20,1,2,3iP iR=，对于任意的0,2t，三次 T-Bzier 曲线表Open AccessOpen Access杨雪，彭兴璇 DOI:10.12677/aam.2024.131026 236 应用数学进展 示为()()3,30iiiP tPZt=(1)其中(),3iZt为 T-Bzier 曲线的基函数。其矩阵表示形式为()()012333112222001sincoscos20022111122PPP ttttPP=显然()0,3312sincos222Zttt=()1,312sincos2Zttt=+()2,312coscos2Zttt=+()3,3312coscos222Zttt=+则有()()230,301ijij iP tPPZt=+=+从而()001122,P tP wPwP w=+(2)其中()3,31,0,1,2ijj iwZti=+=记()()0122cos1sin2sin1cos2sin coswttwwttwtt=。定义 2 平面 T-Bzier 曲线()()()(),nP tx ty t=，若存在()1nt使得其导数分量()(),x ty t满足()()()222xtytt+=，则称该曲线为 Pythagorean Hodograph T-曲线，简称 T-PH 曲线。3.三次三次 T-PH 曲线的代数与几何特征曲线的代数与几何特征 定理 1 若参数曲线()()()(),P tx ty t=满足：()()()()()()()()222x tw tutvty tw t u t v t=其中()()(),w tu tv t分别为实系数多项式，且不等于零，则()P t为 PH 曲线。根据定义 2 和定理 1，可以得到 杨雪，彭兴璇 DOI:10.12677/aam.2024.131026 237 应用数学进展 定理 2 式(1)中的三次 T-Bzier 曲线()P t是 PH 曲线的充要条件是存在实数0011,u v u v，使得其控制顶点满足如下关系式 2211101 122110 10 11 10 11 0210 10 10 11 032,22,22,22uvPPu vuvu uv vu vu vu vPPu uv vu vu vPP=+=+=+(3)其中 222201010 01 10uuvvu vu v+=+=(4)证明：令()()0101sincos22sincos22ttu tuuttv tvv=+=+由 T-Bzier 曲线的基函数得()()()2222222222101001010 10 1cossin2222uuvvuuvvutvttu uv vt+=+()()()()()1 10 00 11 00 11 12cossinu t v tu vu vtu vu vtu vu v=+三次 T-Bzier 曲线的导数可写为()()()()100123322cos22sin22sinP tPPtPPPPtPPt=+因此得到 T-PH 曲线的控制顶点：()000222210101 10 010222210100 10 11 10 00 11 0210 10 10 11 032,4222,42,22Pxyuuvvu vu vPPuuvvu uv vu vu vu vu vPPu uv vu vu vPP=+=+=+=+其中0011,u v u v需满足 222201010 01 10uuvvu vu v+=+=对上式进行整理即可得到式(3)，从而得到了三次 T-Bzier 曲线成为 T-PH 曲线的充要条件。下面将用一个例子来说明定理 2，用定理中的充要条件给定参数取值，计算出曲线的控制顶点，并根据 T-Bzier 曲线的表达式构造出两条三次 T-PH 曲线。杨雪，彭兴璇 DOI:10.12677/aam.2024.131026 238 应用数学进展 例 1 给定()001010,0,1,2,2,1Puuvv=，则由式(3)可得三次 T-PH 曲线的控制顶点为：()()()()01230,0,1.5,25,2.5,7,1PPPP=得到的三次 T-PH 曲线及其控制多边形如图 1 所示。Figure 1.Cubic T-PH curve and control polygon 图图 1.三次 T-PH 曲线及控制多边形 Farouki 已经得出三次多项式 PH 曲线具有简单的几何性质，利用这个性质可以对三次多项式 PH 曲线进行判别和构造，接下来将证明三次 T-PH 曲线也具有类似的几何性质。定理 3 若,0,1,2,3iP i=为三次 T-Bzier 曲线()P t的控制顶点，,0,1ii=为控制多边形的两个内角，,0,1,2iiLPi=为控制多边形的三条边长，则()P t是 T-PH 曲线当且仅当 201102,2LL L=(5)证明：由定理 2 可知，若一条三次 T-Bzier 曲线为 T-PH 曲线，则存在实数0011,u v u v使得式(3)、(4)成立。记,0,1,2ii=为iP的辐角，可得 02211001 1e2iuvPLu v i=+(6)122110 10 11 10 11 0112e22iuvu uv vu vu vu vPLi+=+(7)20 10 10 11 022e22iu uv vu vu vPLi+=+(8)分别计算21P和02P P 的实部和虚部，得到()()()3322101010 110 10233220101101010 110 12133Re4,2266Re4u uv vu v vv u uP Pu u v vu uv vu v vv u uP+=+=其中()422422222222010111101 0 1101010110,64u u v vuu vu u v vvu uv vu vu v=+由式(4)化简得到()0101,0u u v v=()()()3322101010 111 00233220101101010 111 02133Im4,33Im2u vv uu u vv u vP Pu u v vu vv uu u vv u vP+=+=杨雪，彭兴璇 DOI:10.12677/aam.2024.131026 239 应用数学进展 其中()3322220101111101 110 010 001 1,22u u v vu vv uu u vu u vv u vv u v=+由式(4)化简得到()0101,0u u v v=从而可得 21022PPP=(9)因为i为控制多边形的内角，即1iii+=，所以由式(9)可知式(5)成立。反之，若对于给定的三次 T-PH 曲线，其控制多边形满足式(5)，则假定0101,u u v v为待定系数，使得式(6)式(8)成立。若式(6)、式(7)成立，则式(8)也成立。因此分别考虑复方程(6)的实部和虚部，通过求解线性方程组得到()()()2022100100ImRe,RePuPPvPP=+=+进一步，将11,u v作为已知量，分别考虑复方程(7)的实部和虚部，通过求解线性方程组得到()()()32111111 1022112ReImuPvPuu vuuv+=+()()()321111111022112ReImvPuPvu vvuv+=+综上，得到使定理 3 成立的 4 个实数0101,u u v v，因此，该曲线是一条三次 T-PH 曲线。证毕。4.三次三次 T-PH 过渡曲线的构造过渡曲线的构造 平面参数曲线的曲率表达式为：()()()()3P tPtk tP t=设三次 T-PH 曲线的控制多边形初始端点为 P0，末端点为 P3，以 P0为原点建立直角坐标系，由 P0处的曲率可得到以 C0为圆心，r0为半径的圆 0，由 P3的曲率可得到以 C1为圆心，r1为半径的圆 1，如图 2 所示。Figure 2.Circle of curvature 17 图图 2.曲率圆17 杨雪，彭兴璇 DOI:10.12677/aam.2024.131026 240 应用数学进展 由图 2 得三次 T-PH 曲线的控制顶点为：()()()()01020113012120,0,0cos,sincoscos2,sinsin2PPLPLLLPLLLLL=+=+(10)将式(10)代入式(1)中，得到()P t的参数表达式为：()()()()()()0123,32sincos212sincos223112coscos22coscos222P tx ty tPttPttPttPtt=+其中()()()()()00101212sincos2cos12coscos231coscos22coscos222x tLttLLttLLLtt=+(11)()()()11231sin12coscos2sinsin22coscos222y tLttLLtt=+(12)对式(11)、式(12)求导，得到 T-PH 曲线导数的模长为()()()0122cossin2cos sin22sinsin2P tLttLtLtt=+则曲率表达式为()()()()02200222 2sin2cossin22cos sin22sinsin2L Lk tLttL LtLtt=+(13)将0,2t=代入式(13)分别得到初始端点和末端点的曲率0k和1k()02020021222sin022sin22L LkkLL LkkL=因为02令0214001kLrLrk=则01时，即两圆不互相包含时，若 20cos2 则过渡曲线是一个 C 型过渡曲线。杨雪，彭兴璇 DOI:10.12677/aam.2024.131026 241 应用数学进展 证明：对式(13)求导，得到三次 T-PH 曲线的曲率导数为()()()()()()02020022300228 2sinsincos2coscos22cossin22cos sin22sinsin2L LLtLtLL LLtk tLttL LtLtt+=+(14)则()()()()020023002022322sin2cos02sin2cos1L LLL LkLL LL LLkL=得()()()()()2020020223022sin2cos2cos01L LLL LL LLkkL L=由于21400LrLr=，01，故当20cos2时，()()20202022cos12cos0,LLL LL L+即()()010kk，此时，三次 T-PH 曲线的内部含有尽量少的曲率极值点，且所构造的三次 T-PH曲线是 C 型 G2连续的过渡曲线。下面讨论三次 T-PH 过渡曲线的唯一性。定理 5 设给定端点的曲率为0k和1k，相应的曲率半径为0r和1r，令140rr=，若 0.67191 且()()0101rrrqrr 其中()()864224234322 1q+=若所构造的三次 T-PH 过渡曲线符合上述条件，则该曲线是唯一的。证明：由图 2 知，两 圆的圆心分别为()000,Cr，()13131sin2,cos2Cxryr+，则 圆心距()011031310sin2,cos2C CCCxryrr=+?，设圆心距长度为 r，则10CCr=。由始末端点曲率0k和1k及140rr=可得 002sin,2Lr=(15)3202sin,2Lr=(16)杨雪，彭兴璇 DOI:10.12677/aam.2024.131026 242 应用数学进展 由1022LL L=，得 210sinLr=(17)构造函数()2210gCCr=，令cosh=，则01h。将式(10)中 T-PH 曲线的控制顶点代入()g中，得到关于 h 的方程()()()42432232242200032228642200342211123332121220g hr hrhrhrhrr=+=因为20cos2h=，考虑()g h在20,2上的情况：()()()()()864222102486422210242910116424 12343202 1grrrgrrr+=+=，由零点定理，()0g h=有解的充分条件为()2002gg。由01得()864249101164012 1+，所以202g。经计算，当0.67191成立，此时()g h在20,2有根。Figure 3.Cubic T-PH transition curves between two circles that do not contain each other 图图 3.互不包含的两圆之间的三次 T-PH 过渡曲线 杨雪，彭兴璇 DOI:10.12677/aam.2024.131026 243 应用数学进展 接下来讨论 h 的唯一性：()gh是关于 h 的二次多项式，且开口向下，另外22202231023gr=+，()222202503039gr=+，所以()gh是增函数，又()00g，202g，因此()g h在20,2有唯一的根。5.数值例子数值例子 取()00,0P，01.5r=，由0.67191，取11r=，计算得出过渡曲线两端点的曲率圆的圆心距范围为()()0101rrrqrr，取()012.5rrr=，解得1.5484=，生成的三次 T-PH 过渡曲线如图 3 所示。6.总结总结 本文基于三角多项式空间，给出了三次 T-Bzier 曲线成为 T-PH 曲线的几何特征。本文研究的另一个问题，即利用三次 T-PH 曲线的几何特征，构造了互不包含的两圆之间的三次 T-PH 过渡曲线，由于过渡曲线次数较低，所以计算方便，易在 CAD 中实现。参考文献参考文献 1 Farouki,R.T.and Sakkalis,T.(1990)Pythagorean Hodographs.IBM Journal of Research and Development,34,736-752.https:/doi.org/10.1147/rd.345.0736 2 Chen,Q.and Wang,G.(2003)A Class of Bzier-Like Curves.Computer Aided Geometric 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