具有趋势项的残差自回归移动平均模型的修正预测.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(3),1027-1035 Published Online March 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.133097 文章引用文章引用:谢飞,武新乾.具有趋势项的残差自回归移动平均模型的修正预测J.应用数学进展,2024,13(3):1027-1035.DOI:10.12677/aam.2024.133097 具有趋势项的残差自回归移动平均模型的修正具有趋势项的残差自回归移动平均模型的修正预测预测 谢谢 飞飞*，武新乾，武新乾 河南科技大学数学与统计学院，河南 洛阳 收稿日期：2024年2月27日；录用日期：2024年3月21日；发布日期：2024年3月27日 摘摘 要要 为了研究新数据产生背景下时序模型的预测问题，本文针对含多项式趋势项的残差为了研究新数据产生背景下时序模型的预测问题，本文针对含多项式趋势项的残差ARMA模型探讨了无模型探讨了无需重新拟合的不变模型修正预测法。采用需重新拟合的不变模型修正预测法。采用K折交叉验证，并以平均折交叉验证，并以平均RMSE作为评价指标，确定最佳的多项作为评价指标，确定最佳的多项式拟合次数。基于最小二乘法和线性时间序列建模方法进行了数值模拟和实证分析。结果显示，与需要式拟合次数。基于最小二乘法和线性时间序列建模方法进行了数值模拟和实证分析。结果显示，与需要重新拟合的改变模型修正预测法相比，无需重新拟合的不变模型修正预测法具有一定的优越性，计算成重新拟合的改变模型修正预测法相比，无需重新拟合的不变模型修正预测法具有一定的优越性，计算成本小，且优于传统的未修正预测法，可以看作是一种简单易行的修正预测方法本小，且优于传统的未修正预测法，可以看作是一种简单易行的修正预测方法。关键词关键词 K折交叉验证折交叉验证，ARMA，修正预测修正预测 A Correcting Prediction Method of Residual ARMA Models with Polynomial Trend Fei Xie*,Xinqian Wu School of Mathematics and Statistics,Henan University of Science and Technology,Luoyang Henan Received:Feb.27th,2024;accepted:Mar.21st,2024;published:Mar.27th,2024 Abstract In order to investigate the predictive issues of time series models under the context of new data generation,an invariant model correcting prediction method of residual ARMA models with poly-nomial trend components is discussed in this paper.K-fold cross-validation is used to determine the optimal degree of polynomial fitting in the sense of the average root mean squared error(RMSE).*通讯作者。谢飞，武新乾 DOI:10.12677/aam.2024.133097 1028 应用数学进展 Numerical simulation and empirical analysis are conducted based on the least squares method and linear time series modeling approach.The results show that the invariant model correcting prediction method,which does not need to re-estimate models and has lower computational cost,exhibits certain advantages over the changing model correcting prediction method.Furthermore,the invariant model correcting prediction method outperforms the traditional uncorrected pre-diction method.Thus,the invariant model correcting prediction method can be viewed as a simple and feasible correcting prediction approach.Keywords K-Fold Cross-Validation,ARMA,Correcting Prediction Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 时间序列分析是数据分析的一个重要分支。通过分析时间序列，可以深入了解各种现象的发展趋势，并将其应用于如资源规划、环境控制等领域。多数现有研究专注于模型选优以提高预测精度。例如，李文武等人(2022)1为提高综合能源系统负荷的预测精度，提出了一种结合聚合混合模态分解和时序卷积神经网络(TCN)的预测框架。杨芸珍等人(2020)2为了提高 Klobuchar 模型的电离层延迟修正精度，提出了基于 ARIMA 误差修正预测的精化方法。但面临持续增长的数据量，如何有效地利用新数据进行修正预测以提高准确性，这是一个值得关注的问题。利用新数据进行修正预测主要有两种策略。一种策略是将新数据纳入到原始数据集中，然后基于这个更新后的数据集重新拟合模型，再利用重新拟合后的模型进行预测，这种方法称为重新拟合模型下的修正预测(简称“改变模型修正预测”)方法。另一种策略是在新数据产生后，并不需要重新拟合模型，而是利用平稳时间序列的特性对已有的预测结果进行修正3，这种方法称为拟合模型不变下的修正预测(简称“不变模型修正预测”)方法。例如，郭祥琳等(2018)4通过介绍时间序列修正预测方法，验证其在建筑物沉降监测中的适用性。刘军等(2011)5考虑到电离层变化的周期性，为了进一步减小极值点处预测误差，提出了改进的修正预测法，用上一周期的预测误差对修正预测法结果进行改正。本文主要在 ARMA 模型的修正预测基础上，研究具有多项式趋势的残差 ARMA 模型的修正预测方法。2.模型构建方法模型构建方法 考虑含有多项式趋势项的残差自回归移动平均模型()()()()01111120,var,0,0,ntntttptpttqt qtttsstxaa ta tuuuuEEstE ust =+=+=(4)已知在旧数据12,tttu uu?的基础上，t lu+的预测值为()11tltltu lGG+=+?(5)如果获得 1 个新观察值1tu+，则t lu+的修正预测值为()()1111tlttulGu l+=+(6)式中()11 1tttuu+=是1tu+的一步预测误差。如果获得 s 个新观察值()1,1tt suusl+?，则t lu+的修正预测值为()()11t sl st slttulsGGu l+=+?(7)谢飞，武新乾 DOI:10.12677/aam.2024.133097 1030 应用数学进展 式中，()11t it it iuu+=是()1,2,t iuis+=?的一步预测误差。3.Monte Carlo 模拟算例模拟算例 不妨设模型(1)中03a=，12a=，21a=，10.7=，10.15=，()0,1tN。此时，模型为 211320.70.15ttttttxttuuu=+=+(8)在 Monte Carlo 模拟中，进行 1000 次模拟实验，每次实验生成 105 个数据，其中前 100 个用于构建模型，剩余的 5 个用于验证。基于模型(8)拟合的平均 MAE(平均绝对误差)为 0.767，平均 MSE(均方误差)为 0.924；预测的平均 MAE 为 1.213，平均 MSE 为 2.461。表 1 和表 2 分别给出了不变模型修正预测结果和改变模型修正预测结果。Table 1.Mean MAE and mean MSE for modified predictions of the invariant model 表表 1.不变模型修正预测的平均 MAE 和平均 MSE 1 期修正 2 期修正 3 期修正 4 期修正 平均 MAE 1.176 1.141 1.107 1.073 平均 MSE 2.387 2.312 2.246 2.179 Table 2.Mean MAE and mean MSE of modified predictions by changing models 表表 2.改变模型修正预测的平均 MAE 和平均 MSE 1 期修正 2 期修正 3 期修正 4 期修正 平均 MAE 1.206 1.167 1.081 0.956 平均 MSE 2.455 2.306 2.006 1.528 由表 1 和表 2 可以看出，两种修正预测法的平均 MAE 和平均 MSE 均小于未修正预测的平均 MAE和平均 MSE，并且随着新数据的产生和修正期数的增加，平均 MAE 和平均 MSE 逐渐减小，显示了修正预测的优势。进一步地，在初期修正时，不变模型修正预测法的平均 MAE 和平均 MSE 较低，而在后期修正时，改变模型修正预测法的平均 MAE 和平均 MSE 较低，说明了这两种方法各有优劣。然而，考虑到改变模型修正预测法需要不断地重新拟合模型，将导致计算成本的大量增加，在这个意义下，不变模型修正预测法不失为一种简单易行的方法。4.实证分析实证分析 选取 2023 年 1 月到 6 月的 118 期上证指数收盘价做为原始数据，记为()1,2,118txt=?，如图 1所示。为确定多项式01nnaa ta t+?的最佳次数及其系数，采用了 10 折交叉验证方法。通过计算不同次数多项式的平均 RMSE，以平均 RMSE 最小的次数确定多项式的最佳次数，结果如表 3 所示。当多项式为 2 阶时，其平均 RMSE 达到最小值 43.381，再使用最小二乘法对二次多项式进行拟合，得到的趋势项模型为 23160.484324.737150.03868ttxxxu=+(9)谢飞，武新乾 DOI:10.12677/aam.2024.133097 1031 应用数学进展 Figure 1.Shanghai Composite Index closing prices from January to June 2023 tx 图图 1.2023 年 1 月至 6 月每期上证指数收盘价 tx Table 3.Average RMSE for polynomial fitting 表表 3.多项式拟合的平均 RMSE 次数 1 次 2 次 3 次 4 次 平均 RMSE 59.575 43.381 50.233 72.433 对模型(9)进行 F 检验，统计量值为 68.68，对应的 P 值为 0.00，说明该模型显著成立。表 4 的多项式参数估计和检验结果显示，常数项、一次项和二次项的 P 值均为 0.00，均通过了 t 检验，即参数估计值显著。Table 4.Parameter estimates and statistics 表表 4.参数估计及统计量 变量 系数 t 统计量 P 值 截距 3160.48432 300.49 0.00 一次项 4.73715 11.61 0.00 二次项 0.03868 11.64 0.00 通过去掉多项式趋势项，得到残差序列 tu，如图 2 所示。容易看出，残差序列 tu展现出平稳特性。经 ADF 单位根检验，其 P 值为 0.00，表明残差序列是平稳序列。经 Ljung-Box 检验得到 P 值为 0.00，确定该序列是非白噪声序列。谢飞，武新乾 DOI:10.12677/aam.2024.133097 1032 应用数学进展 Figure 2.tu Timing diagram of residual sequence 图图 2.残差序列 tu时序图 图 3 给出了残差序列 tu的自相关图和偏自相关图。由图 3 可知，偏自相关图在一阶后截尾，选择p=1。自相关图显示了拖尾特性，为确定适当的 q 值，参考 AIC 和 BIC 的评价准则，根据表 5 的数据，当 p=1 且 q=0 时，AIC 和 BIC 均达到最小值，因此，对残差序列建立 AR(1)模型。采用最小二乘法对数据进行拟合，最终得到的模型为 213160.484324.737150.038680.795tttttxxxuuu=+=+(10)Figure 3.Autocorrelation and partial autocorrelation of residual sequence tu 图图 3.残差序列 tu的自相关图和偏自相关图 谢飞，武新乾 DOI:10.12677/aam.2024.133097 1033 应用数学进展 Table 5.AIC and BIC values for residual sequence tu modeling 表表 5.残差序列 tu建模的 AIC 和 BIC 的值 q AIC BIC 0 1073.951 1079.492 1 1074.746 1083.058 2 1074.763 1085.846 3 1075.470 1089.323 对序列 t进行白噪声检验，P 值为 0.356，接受原假设，即该序列为白噪声。图 4 为序列 t的QQ 图和 PP 图，这两个图中，数据点紧密地沿着参考线排列，表明 t近似服从正态分布。Figure 4.QQ chart(left)and PP chart(right)of residual sequence t 图图 4.残差序列 t的 QQ 图(左图)和 PP 图(右图)基于模型(10)，预测了 2023 年 7 月上证指数的前 5 期收盘价，如表 6 所示。5 期预测的相对误差均未超过 2%。特别是在第 123 期，预测的相对误差甚至未达 1%。Table 6.Unrevised predictions based on model(10)表表 6.基于模型(10)的未做修正的预测结果 期数 原始值 预测值 相对误差 119 3243.98 3193.295 1.562%120 3245.35 3185.341 1.849%121 3222.95 3178.017 1.394%122 3205.57 3171.178 1.073%123 3196.61 3164.707 0.998%谢飞，武新乾 DOI:10.12677/aam.2024.133097 1034 应用数学进展 经将 7 月份前 4 期收盘价逐步纳入为新数据进行修正预测后，不变模型修正预测结果见表 7，改变模型修正预测结果见表 8。由表 7 和表 8 可知，两种修正预测的误差均得到了降低。特别地，在不变模型的 2 期修正预测中，第 121 期和 123 期，以及 3 期修正预测的第 122 期，预测的相对误差均不足 0.1%。同样，在改变模型的 2 期修正预测中，第 121 期和 122 期，以及 3 期修正预测的第 122 期，预测的相对误差也均不超过 0.1%。Table 7.Revised predictions for the unchanged model 表表 7.不变模型的修正预测结果 期数 1 期 修正值 相对 误差 2 期 修正值 相对 误差 3 期 修正值 相对 误差 4 期 修正值 相对 误差 120 3225.634 0.607%121 3210.048 0.400%3225.722 0.086%122 3196.641 0.279%3209.100 0.110%3206.897 0.041%123 3184.949 0.365%3194.854 0.055%3193.103 0.110%3192.048 0.143%Table 8.Revised predictions for changing the model 表表 8.改变模型的修正预测结果 期数 1 期 修正值 相对 误差 2 期 修正值 相对 误差 3 期 修正值 相对 误差 4 期 修正值 相对 误差 120 3226.056 0.595%121 3210.722 0.379%3225.322 0.074%122 3197.448 0.253%3205.675 0.003%3203.434 0.067%123 3185.808 0.338%3189.336 0.228%3187.561 0.283%3189.572 0.220%进一步地，模型(10)拟合的 MAE 为 17.392，MSE 为 503.222；预测的 MAE 为 384，MSE 为 2077.921。表 9 给出了不变模型修正预测的 MAE 和 MSE，表 10 给出了改变模型修正预测的 MAE 和 MSE。由表9 和表 10 可知，两种修正预测的 MAE 和 MSE 比不修正预测的 MAE 和 MSE 小得多，表明了修正预测的优势。此外，两种修正预测方法相比较，在一个新数据引入并进行 1 期修正下，改变模型修正预测的MAE 和 MSE 较低，但随着后续新数据的逐步引入，改变模型修正预测的 MAE 和 MSE 却较高，显示了改变模型修正预测法的不足。Table 9.MAE and MSE predicted by modified invariant models 表表 9.不变模型修正预测的 MAE 和 MSE 1 期修正 2 期修正 3 期修正 4 期修正 MAE 13.302 2.686 2.417 4.562 MSE 192.722 7.743 7.031 20.815 谢飞，武新乾 DOI:10.12677/aam.2024.133097 1035 应用数学进展 Table 10.MAE and MSE for modified predictions by changing models 表表 10.改变模型修正预测的 MAE 和 MSE 1 期修正 2 期修正 3 期修正 4 期修正 MAE 12.611 3.250 5.592 7.038 MSE 176.101 19.517 43.222 49.537 5.结束语结束语 本文主要探究了含有多项式趋势的残差自回归移动平均模型的修正预测方法，模拟结果显示，与需要重新拟合的改变模型修正预测法相比，不变模型修正预测法计算成本小，优于未修正预测法，可以看作是一种简单易行的修正预测方法。实证分析结果也表明了不变模型修正预测法的优越性和可行性。基金项目基金项目 国家自然科学基金资助项目(11601126)；河南省科技重点攻关项(182102210286)。参考文献参考文献 1 李文武,张鹏宇,石强,等.基于聚合混合模态分解和时序卷积神经网络的综合能源系统负荷修正预测J.电网技术,2022,46(9):3345-3357.2 杨芸珍,刘立龙,黄良珂,等.基于 ARIMA 误差修正预测的 Klobuchar 模型精化J.桂林理工大学学报,2020,40(3):551-556.3 王燕.应用时间序列分析M.北京:中国人民大学出版社,2005.4 郭祥琳,成枢,程方.时间序列分析的修正预测在建筑物沉降监测中的应用J.北京测绘,2018,32(5):546-549.5 刘军,柴洪洲,常宜峰,唐江波.改进的修正预测法预报电离层J.测绘科学技术学报,2011,28(1):19-22.6 梁子超,李智炜,赖铿,等.10 折交叉验证用于预测模型泛化能力评价及其 R 软件实现J.中国医院统计,2020,27(4):289-292.7 路佳佳.基于交叉验证的集成学习误差分析J.计算机系统应用,2023,32(1):302-309.