具有消失位势的Schrödinger-Poisson系统的可解性.pdf

第4 9卷 第3期2 0 2 3年9月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.3S e p.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 6 0 1基金项目:国家自然科学基金(1 1 8 6 1 0 2 1);贵州民族大学自然科学研究项目(G ZMU Z K2 0 2 2Y B 2 3)第一作者:李文敏(1 9 9 9),女,硕士研究生,研究方向为非线性泛函分析及应用.通信作者:张家锋(1 9 8 1),男,博士,教授,研究方向为非线性泛函分析及应用.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 3-0 1 9 5-0 8具有消失位势的S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统的可解性李文敏,张家锋(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵阳 5 5 0 0 2 5)摘要:利用山路引理、H l d e r不等式、嵌入不等式和估值等,研究了一类含临界非局部项且位势在无穷远处消失的S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统的非平凡解的存在性.首先利用嵌入不等式证明了泛函具有紧性,然后利用截断函数对泛函进行了估值,最后用变分方法证明了该系统至少有一个非平凡解.所得结果丰富了椭圆型方程解的相关理论.关键词:S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统;变分方法;截断函数;消失位势中图分类号:O 1 7 7.9 1 文献标志码:AT h e s o l v a b i l i t y o f c r i t i c a l S c h r d i n g e r-P o i s s o n s y s t e m s i n v o l v i n g v a n i s h i n g p o t e n t i a lL I W e n m i n,Z HANG J i a f e n g(S c h o o l o f D a t a S c i e n c e a n d I n f o r m a t i o n E n g i n e e r i n g,G u i z h o u M i n z u U n i v e r s i t y,G u i y a n g 5 5 0 0 2 5,C h i n a)A b s t r a c t:T h e e x i s t e n c e o f n o n t r i v i a l s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f S c h r d i n g e r-P o i s s o n s y s t e m s c o n t a i n i n g c r i t i c a l n o n l o c a l t e r m s a n d v a n i s h i n g p o t e n t i a l a t i n f i n i t y w a s i n v e s t i g a t e d b y u s i n g t h e M o u n t a i n P a s s L e mm a,H l d e r s i n e q u a l i t y,e m b e d d i n g i n e q u a l i t y a n d v a l u a t i o n.F i r s t l y,w e p r o v e t h a t t h e f u n c t i o n a l h a s t i g h t n e s s b y u s i n g t h e e m b e d d i n g i n e q u a l i t y,t h e n t h e v a l u a t i o n o f t h e f u n c t i o n a l i s p e r f o r m e d u s i n g t h e c u t-o f f f u n c t i o n,a n d f i n a l l y w e p r o v e t h a t t h e r e i s a t l e a s t o n e n o n t r i v i a l s o l u t i o n o f t h e s y s t e m b y v a r i a t i o n a l m e t h o d.T h e r e s u l t s o f t h i s p a p e r e n r i c h t h e t h e o r y o f s o l u t i o n s o f e l l i p t i c t y p e e q u a t i o n s.K e y w o r d s:S c h r d i n g e r-P o i s s o n s y s t e m;v a r i a t i o n a l m e t h o d s;c u t-o f f f u n c t i o n;v a n i s h i n g p o t e n t i a l 由于S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统在物理学、生态学、经济学等领域有着丰富的应用背景,因此一直受到学者们的关注.例如:2 0 1 1年,文献1 的作者研究了一个具有在无穷远处消失的径向位势的渐进线性S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统,并证明了该系统不存在非平凡正解.2 0 1 6年,文献2 的作者研究了一个具有临界指数的渐进周期S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统,并证明了该系统存在正解.2 0 1 9年,文献3 的作者研究了一个在R3中具有临界非局部项和消失位势的S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统,并在一些假设条件下利用山路定理证明了该系统至少有一个非平凡解.2 0 2 0年,文献4 的作者研究了一个具有临界非局部项和更一般非线性项的S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统,并利用变分方法等证明了该系统至少存在两个非延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 平凡解.2 0 2 1年,文献5 的作者研究了一类具有临界指数的非局部问题正解的多重性,并在一些条件下利用变分方法和精确估计证明了该系统至少有k个正解.基于上述研究,本文研究一个具有临界非局部项且位势在无穷远处消失的S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统(式(1)的非平凡解的存在性.-u+V(x)u-l(x)u u=K(x)f(u),xR4;-=l(x)u3,xR4.(1)其中:V(x),K(x)CR4,R ;f是连续函数;l(x)是有界非负连续函数;V和K是非负函数,且可在无穷远处消失;(0)是参数.1 相关假设和引理用D1,2(R4)表 示“绝 对 光 滑”空 间C(R4)的 完 备 化 空 间,其 对 应 的 范 数 为uD1,2(R4)=R4u2+u2 dx 12.假设本文的工作空间为E=uD1,2(R4):R3V(x)u2dx0,xR4.(2)方程(2)对应的能量泛函J:E R为:J(u)=12R4u2+V(x)u2 dx-16R4l(x)uu3dx-R4K(x)F(u)dx.(3)令F(u,)=12R4u2+V(x)u2 dx-13R4l(x)u3dx-R4K(x)F(u)dx+16R42dx,则可得:uF(u,)v =R4uv+V(x)u v dx-R4l(x)u2vdx-R4K(x)f(u)vdx.F(u,)=-13R4l(x)u3dx+13R4dx.再利用-=l(x)u3和格林公式可得F(u,)=-13R4l(x)uu3dx+13R4dx=0.定义J(u)=F(u,(u),由此可得J(u)=12R4u2+V(x)u2 dx-13R4l(x)uu3dx+16R4u2dx-R4K(x)F(u)dx.对该式利用-u=l(x)u3和格林公式可得:J(u)=12R4u2+V(x)u2 dx-13R4l(x)uu3dx+16R4u2dx-R4K(x)F(u)dx=12R4u2+V(x)u2 dx-16R4l(x)uu3dx-R4K(x)F(u)dx.因此对J(u)进行求导可得:J(u)=uF(u,(u)+F(u,(u)(u)=R4uv+V(x)u v dx-R4l(x)u u vdx-R4K(x)f(u)vdx.J(u)的弱导数J:EE 为:691 第3期李文敏,等:具有消失位势的S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统的可解性=R4uv+V(x)u v dx-R4l(x)uu u vdx-R4K(x)f(u)vdx.(4)其中:E 是E中所有连续泛函所构成的空间,即E 是E的对偶空间.由式(4)可知,对于任意的E,u是方程(2)的弱解,当且仅当 R4u+V(x)u dx-R4l(x)uu udx-R4K(x)f(u)dx=0.(5)在L e b e s g u e空间中定义Lpk(R4)均是由可测函数u:R4 R构成的,且Lpk(R4)=u:R4 R|R4K(x)updx0)的球,用S表示最佳的S o b o l e v常数,即S=i n fuD1,2(R4)R4u2dx,R4u4dx=1.如果V(x)和K(x)满 足以下条件(VK 1)和(VK 2),以 及条件(VK 3)和(VK 4)之一,则称(V,K)R:(VK1)对所有的xR4,有V(x)0,K(x)0,其中KL(R4).(VK2)如果An nR4是一个B o r e l序列集,使得L e b e s g u e m e a s(An)R(对所有的n和某些R0),则有l i mR+AnBcR(0)K(x)dx=0.(VK3)K/VL(R4).(VK4)存在p0(2,4),使得l i m|x|+K(x)/V(x)(4-p0)/2 =0.A l v e s等在文献6 中首次引入上述假设条件(VK1)(VK4),并且将问题(1)定性为零质量问题.关于零质量问题的研究可参考文献7-8.假设连续函数f:R R在原点和无穷远处的增长条件为:(f1)如果满足条件(VK3),则有l i mt0f(t)t=0成立;如果满足条件(VK4),则有l i mt0f(t)tp0-10,xR4;u2D1,2(R4)=R4l(x)uu3dx;对于任意的t0,有t u=t3u;uD1,2(R4)l(x)S-12u34,R4uu3dxl(x)S-1u64;当n 时,若在L4(R4)中有unu和在R4中几乎处处有unu,则在D1,2(R4)中unu.791延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 引理2假定(V,K)R,p 2,4 ,则存在C0,且使得uLpk(R4)C uE,uE.证明 以下分别证明条件(VK3)和条件(VK4)成立时引理2成立.当条件(VK3)成立时,对于p(2,4),定义m=4-p2,则由此可得p=2m+4(1-m),R4K(x)updx=R4K(x)u2mu4(1-m)dxR4K(x)1mu2dx mR4u4dx 1-m s u pxR4K(x)V(x)m R4V(x)u2dx mR4u4dx 1-mCs u pxR4K(x)V(x)m R4V(x)u2dx mR4u2dx 2(1-m)Cs u pxR4K(x)V(x)m R4u2+V(x)u2 dx m+2(1-m)=Cs u pxR4K(x)V(x)m s u pxR4R4u2+V(x)u2 dx p2.由于K(x)L(R4)和K/VL(R4),因此有uLpk(R4)C uE,p(2,4).当条件(VK4)成立时,定义m0=4-p04,则由此可得p0=2m0+4(1-m0),R4K(x)up0dx=R4K(x)u2m0u4(1-m0)dxR4K(x)1m0u2dx m0 R4u4dx 1-m0s u pxR4K(x)V(x)m0 R4V(x)u2dx m0R4u4dx 1-m0 Cs u pxR4K(x)V(x)m0 R4V(x)u2dx m0R4u2dx 2(1-m0)Cs u pxR4K(x)V(x)m0 R4u2+V(x)u2 dx m0+2(1-m0)=Cs u pxR4K(x)V(x)m0 s u pxR4R4u2+V(x)u2 dx p02.由上述不等式可得uLp0k(R4)C uE,于是再由条件(VK3)可得K(x)V(x)m0L(R4).由上述证明可知引理2成立.引理3泛函J满足下列结论:(i)存在,0,使得当uE=时有J(u).(i i)存在eB(0),使得J(e)0,由条件(f1)和(f2)可得存在C0,且使得 F(u)2u2+Cu4,uE.(6)由式(6)和引理2可得 R4K(x)F(u)dx2R4K(x)u2dx+CR4K(x)u4dx2u2E+Cu4E,于是再由引理1可得:J(u)=12R4u2+V(x)u2 dx-16R4l(x)uu3dx-R4K(x)F(u)dx 12u2E-C u6E-2u2E-Cu4E=1-2 u2E-C u6E-Cu4E.在上式中取=12,则通过计算可知存在足够小的(0),且当=uE时有J(u).情况2 假设条件(VK4)成立,则由条件(f1)和(f2)可得存在C 0和C 0,使得F(u)891 第3期李文敏,等:具有消失位势的S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统的可解性C up0+C u4,uE.由上述可得:J(u)=12R4u2+V(x)u2 dx-16R4l(x)uu3dx-R4K(x)F(u)dx 12u2E-C u4E-C u6E-C up0E.再通过与情况1类似的计算可知,上式存在足够小的(0),且当=uE时有J(u).(i i)对每个t0,由J(u)可得J(t u)=t22u2E-t66R4l(x)uu3dx-R4K(x)F(t u)dx.由上式可知存在T0且T足够大,同时当tT时有J(t u)-.由此可知,当e=t u时,结论(i i)成立.由引理3可知,泛函J(u)可在 c=i n fm a xt0,1J(t)0(7)处找到一个(P S)序列,且该序列的路径为=C0,1,H1(R4):(0)=0,J(1)0 .引理4若un 是J的(P S)c序列,则un 在E中有界.证明 假设un 是J的(P S)c序列,即当n+时有J(un)c和J(un)0.由此再由条件(f3)可得:c+1+unEJ(un)-1=12-1 u2E+R4K(x)(f(un)un-F(un)dx+1-16 R4l(x)unun3dx12-1 u2E.上式表明un 在E中有界,因此引理4得证.为了对泛函进行估值,在R4中选取一个达到函数U(x)=8122+x-x02,使其满足-u=u3;同时选取一个截断函数C0(R4),使其在B1(x0)中满足0(x)1,s u p pB2(x0)和(x)1.令v=U,于是根据文献9 中的渐进估计可得v2=S2+O(2),v44=S2+O(4).对于s2,4),再 利 用 文 献 9中 的 渐 进 估 计 可 得vss=O2l n ,s=2;O(4-s),s(2,4).定 义Vm a x=m a xXB2r(x0)V(x)和Km i n=m i nXB2r(x0)K(x),于 是 再 由 假 设(l2)可 得l(x0)B2r(x0)u3dxB2r(x0)l(x)u3dx.证毕.引理5假设(V,K)R,条件(f1)(f3)成立,l(x)满足假设(l1)和(l2),则存在u0E0,且使得0 s u pt0J(t u0)0,且使得s u pt0J(t v)0成立,同时当0时有l i mt J(t v)=-.假设存在1、2和(0)且足够小时满足1t0存在C0,且使得 R4K(x)f(tnvn)vndxtnR4K(x)vn2dx+C(tn)3R4K(x)vn4dx CtnR4vn2+V(x)vn2 dx+C(tn)3R4K(x)vn4dx.在上式中取=12c,1,则由式(8)可得:tn2R4vn2+V(x)vn2 dxC(tn)3R4K(x)vn4dx+(tn)5R4l(x)vnvn3dx.假设条件(VK4)成立,则由条件(f1)和(f2)可知,存在一个常数C0,且使得 R4K(x)f(tnvn)dx(tn)p0-1R4K(x)vnp0dx+C(tn)3R4K(x)vn4dx.对上式再利用式(8)可得:tnR4vn2+V(x)vn2 dx(tn)p0-1R4K(x)(vn)p0dx+C(tn)3R4K(x)vn4dx+(tn)5R4l(x)vn(vn)3dx.因为p02,故上式矛盾,证毕.由于01t20,因此有:002 第3期李文敏,等:具有消失位势的S c h r d i n g e r-P o i s s o n系统的可解性B2r(x0)F(tv)dxCB2r(x0)(tv)dxC1B2r(x0)(v)dx=C1O2l n ,=2;C1O(4-),(2,4).(9)由于m a xt0J(t v)=J(tv),即:m a xt0J(t v)=t22R4v2+V(x)v2 dx-t66R4l(x)vv3dx-R4K(x)F(tv)dxh(t)+Vm a x2R4v2dx-R4K(x)F(tv)dx 13l(x)-1S2+C O(2)-R4K(x)F(tv)dx,因此由式(9)可得:C O(2)-R4K(x)F(tv)dxC O(2)-C1O2l n ,=2;C1O(4-),(2,4).由上述可知:如果=2,0,0且足够小,则有:C O(2)-R4K(x)F(tv)dxC O(2)-C 21O2l n 0.如果(2,4),04-0,0且足够小,则有:C O(2)-R4K(x)F(tv)dxC O(2)-C 1O(4-)0,当(2,4)时有C O(2)-R4K(x)F(tv)dx0.由此可得s u pt0J(t v)0,则系统(1)至少存在一个非平凡解.证明 由引理4可知un n在E中有界,因此存在一个子序列,即:unuE;unuLrl o c(R4),r 2,4 ;在R4中几乎处处有unu.(1 0)于是由式(3)(5)可得:J(un)=12R4un2+V(x)un2 dx-R4K(x)F(un)dx-16R4l(x)unun3dx=c+o(1)和=R4un2+V(x)un2 dx-R4K(x)f(un)undx-R4l(x)unun3dx=o(1).假设vn=un-u,于是再利用式(1 0)、命题2和B r z i s-L i e b引理1 0可得:J(un)=J(u)+12R4vn2+V(x)vn2 dx-16R4l(x)vnvn3dx,(1 1)=R4u2+V(x)u2 dx-R4l(x)uu3dx-R4K(x)f(u)udx+R4vn2+V(x)vn2 dx-R4l(x)vnvn3dx+on(1).(1 2)由于当n 时有J(un)0,因此由式(1 0)可得:=R4u2+V(x)u2 dx-R4l(x)uu3dx-R4K(x)f(u)udx.(1 3)由此再由式(1 2)可得:102延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 R4vn2dx+R4V(x)vn2dx-R4l(x)vnvn3dx0,n+;(1 4)J(u)=12R4u2+V(x)u2 dx-R4K(x)F(u)dx-16R4l(x)uu3dx=12R4K(x)f(u)udx-R4K(x)F(u)dx+13R4l(x)uu3dx0.(1 5)不失一般性,假设:R4vn2+V(x)vn2 dxl,n.(1 6)于是利用式(1 4)可得:R4l(x)vnvn3dxl,n.(1 7)对-u=l(x)u3进行计算得:R4l(x)vnvn3dxl(x)2vn64Sl(x)2vn6S4.(1 8)由式(1 5)(1 8)可知ll(x)2l3S4,因此l=0或者lS2l(x).假设lS2l(x),令c0=J(un),并在式(1 1)中取极限(n),于是由式(1 5)(1 7)和lS2l(x)可得J(un)0+l i mn 12R4vn2+V(x)vn2 dx-16R4l(x)vnvn3dx =26l13S2l(x).由该式可得c013S2l(x).而由式(7)和引理5可得c013S2l(x),因此矛盾.由此表明l=0,即J(u)=c0和J(u)=0,因此u是问题(1)的非平凡解.证毕.参考文献:1 S UN J T,CHE N H B,YAN G L.P o s i t i v e s o l u t i o n s o f a s y m p t o t i c a l l y l i n e a r S c h r d i n g e r-P o i s s o n s y s t e m s w i t h a r a d i a l p o t e n t i a l v a n i s h i n g a t i n f i n i t yJ.N o n l i n e a r A n a l y s i s:T h e o r y,M e t h o d s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 1,7 4(2):4 1 3-4 2 3.2 L I U H D.P o s i t i v e s o l u t i o n s o f a n a s y m p t o t i c a l l y p e r i o d i c S c h r d i n g e r-P o i s s o n s y s t e m w i t h c r i t i c a l e x p o n e n tJ.N o n l i n e a r A n a l y s i s:R e a l W o r l d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 6,3 2:1 9 8-2 1 2.3 S HAO L Y.N o n-t r i v i a l s o l u t i o n s f o r S c h r d i n g e r-P o i s s o n s y s t e m s i n v o l v i n g c r i t i c a l n o n l o c a l t e r m a n d p o t e n t i a l v a n i s h i n g a t i n f i n i t yJ.O p e n M a t h e m a t i c s,2 0 1 9,1 7(1):1 1 5 6-1 1 6 7.4 Z HANG J F,GUO W,CHU C M,e t a l.E x i s t e n c e o f s o l u t i o n s f o r a S c h r d i n g e r-P o i s s o n s y s t e m w i t h c r i t i c a l n o n l o c a l t e r m a n d g e n e r a l n o n l i n e a r i t yJ.J o u r n a l o f F u n c t i o n S p a c e s,2 0 2 0,2 0 2 0:2 1 9 7 2 0 7.5 Q I AN X T.M u l t i p l i c i t y o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f n o n l o c a l p r o b l e m i n v o l v i n g c r i t i c a l e x p o n e n tJ.E l e c t r o n-i c J o u r n a l o f Q u a l i t a t i v e T h e o r y o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 2 1,2 0 2 1(5 7):1-1 4.6 A L V E S C O,S OUTO M A S.E x i s t e n c e o f s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n s w i t h p o t e n t i a l v a n i s h i n g a t i n f i n i t yJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 1 3,2 5 4(4):1 9 7 7-1 9 9 1.7 S UN J B,WAN G Z Q,W I L L EM M.W e i g h t e d S o b o l e v e m b e d d i n g w i t h u n b o u n d e d a n d d e c a y i n g r a d i a l p o t e n t i a l sJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 0 7,2 3 8(1):2 0 1-2 1 9.8 AMB R O S E T T I A,MA L CH I O D I A,F E L L I V.G r o u n d s t a t e s o f n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n s w i t h p o t e n t i a l s v a n i s h i n g a t i n f i n i t yJ.J o u r n a l o f t h e E u r o p e a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2 0 0 5,7(1):1 1 7-1 4 4.9 KHOUT I R S,CHE N H B.P o s i t i v e g r o u n d s t a t e s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f S c h r d i n g e r-P o i s s o n s y s t e m s i n R4 i n v o l v i n g c r i t i c a l S o b o l e v e x p o n e n tJ.A s y m p t o t i c A n a l y s i s,2 0 1 8,1 0 9(1/2):9 1-1 0 9.1 0 B R E Z I S H,L I E B E.A r e l a t i o n b e t w e e n p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e o f f u n c t i o n s a n d c o n v e r g e n c e o f f u n c t i o n a l sJ.P r o c e e d i n g s o f t h e Am e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,1 9 8 3,8 8(3):4 8 6-4 9 0.202