高三文科数学考点测试题1.doc

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第3章第8课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题
1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
解析：　由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，
又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.
∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.
答案：　B
2．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：　由＝，得b＝＝＝，
∵B角最小，∴最小边是b.
答案：　A
3．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：　cosA＝sin＞sinB，－A，B都是锐角，则－A＞B，A＋B＜，C＞.
答案：　C
4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)
A.海里/小时 B．34海里/小时
C.海里/小时 D．34海里/小时
解析：　如图所示，

在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，
∴v＝＝(海里/小时)．故选A.
答案：　A
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
解析：　在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.将c＝a代入上式，得2a2＝a2＋b2＋ab，从而a2＝b2＋ab.∴a2－b2＝ab＞0，∴a2＞b2，∴a＞b.
答案：　A
6．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(　　)
A．15米 B．5米
C．10米 D．12米
解析：　如图，设塔高为h，
在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
则OD＝h，
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，
即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．
答案：　C
二、填空题
7．在直径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.
解析：　轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．

答案：　5
8．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．
解析：　如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，
∴∠OAB＝60°.
由正弦定理知，＝，
∴AO＝(米)．
答案：　
9．在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C处，则轮船航行速度是________千米/小时．
解析：　由题意得∠PBA＝30°，∠PCA＝60°，∠BAC＝60°＋30°＝90°，
又PA＝1千米，则AB＝千米，AC＝千米，
所以BC＝千米，
则轮船航行的速度是＝2千米/小时．
答案：　2
三、解答题
10．(2011·浙江台州一模)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？【解析方法代码108001045】

解析：　在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10，
由正弦定理，得BC＝＝20；
在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30(米)．
所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)．
11．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．
解析：　如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20.
由正弦定理得，＝
⇒sin∠ACB＝sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°，
得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°
＝.
12．(2010·福建卷)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析方法代码108001046】
解析：　(1)方法一：设相遇时小艇的航行距离为s海里，则
S＝
＝
＝
故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
方法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．
如图(1)，

图(1)
设小艇与轮船在C处相遇．
在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10，AC＝20sin30°＝10.
又AC＝30t，OC＝vt.
此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30.
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)如图(2)，

(2)
设小艇与轮船在B处相遇．
由题意可得：
(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
化简得：v2＝－＋900
＝4002＋675.
由于0<t≤，即≥2，
所以当＝2时，v取得最小值10.
即小艇航行速度的最小值为10海里/小时．
(3)由(2)知v2＝－＋900，
设＝u(u>0)，
于是400u2－600u＋900－v2＝0.(*)
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：
解得15<v<30.
所以v的取值范围是(15，30)．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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