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第5讲 独立性、二项分布及其应用
一、填空题
1.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是________.
答案
2.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拨,他第一次失败,第二次成功的概率是________.
解析 设A为“第一次失败”,B为“第二次成功”,
则P(A)=,P(B|A)=,
∴P(AB)=P(A)P(B|A)=.
答案
3.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________.
解析 设事件A发生的概率为p,则Cp(1-p)3≤Cp2(1-p)2,解得p≥0.4.
答案 [0.4,1]
4.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则p1和p2的大小关系是________.
解析 p1=1-10=1-10=1-5,
p2=1-5=1-5,则p1<p2.
答案 p1<p2
5.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________.
解析 由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为
C3·2=C5=C5=.
答案
6.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.
解析 设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件B(发芽,又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.根据条件概率公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
答案 0.72
7.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率为和,且各次射击相互独立.按甲、乙、甲……的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时甲射击了两次的概率是________.
解析 停止射击时甲射击了两次,分两种情况:①甲未中、乙未中、甲命中的概率是×=;
②甲未中、乙未中、甲未中、乙命中的概率是×=,故甲射击两次的概率为:+=.
答案
8.一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F为6个开关,其闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是________.
解析 设A与B中至少有一个不闭合的事件为T,E与F至少有一个不闭合的事件为R,
则P(T)=P(R)=1-×=,
所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P()P()=.
答案
9.将一枚硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.
解析 由题意知,正面可以出现6次,5次,4次,所求概率
P=C6+C6+C6==.
答案
10.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
解析 记“该选手回答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3,4,5),且P(Ai)=0.8.选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮则该选手第二个问题必回答错,第三、第四个问题必回答对,
∴所求事件概率P=P(2·A3·A4)=P(2)·P(A3)·P(A4)=(1-0.8)×0.8×0.8=0.128.
答案 0.128
二、解答题
11.某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位):
(1)5次预报中恰有2次准确的概率;
(2)5次预报中至少有2次准确的概率;
(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.
解 设“5次预报中恰有2次准确”为事件A,“5次预报中至少有2次准确”为事件B,“5次预报恰有2次准确,且其中第3次预报准确”为事件C.
(1)P(A)=C23=10××≈0.05;
(2)P(B)=1-C05-C×4≈0.99;
(3)P(C)=C×3×≈0.02.
12.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
解 记A表示事件:“该地的1位车主购买甲种保险”;
B表示事件:“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”;
C表示事件:“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”;
D表示事件:“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”;
E表示事件:“该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买”,则
(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B.
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.
(2)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,
P(E)=C×0.2×0.82=0.384.
13.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.
(1)求该公司决定对该项目投资的概率;
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.
解 (1)该公司决定对该项目投资的概率为
P=C2+C3=.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:
“同意”票张数
“中立”票张数
“反对”票张数
事件A
0
0
3
事件B
1
0
2
事件C
1
1
1
事件D
0
1
2
P(A)=C3=,
P(B)=C3=,
P(C)=CC3=,
P(D)=C3=.∵A、B、C、D互斥,
∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.
14.投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;
(2)求投到该杂志的4篇稿件中,至少有2篇被录用的概率.
解 (1)记A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;
B表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审;
C表示事件:稿件能通过复审专家的评审;
D表示事件:稿件被录用.
则D=A+BC.
P(A)=0.5×0.5=0.25,
P(B)=C×0.5×0.5=0.5,
P(C)=0.3,P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(BC)
=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.5×0.3=0.40.
(2)记A0表示事件:4篇稿件中没有1篇被录用;
A1表示事件:4篇稿件中恰有1篇被录用;
A2表示事件:4篇稿件中至少有2篇被录用.
A2=A0+A1,
P(A0)=(1-0.4)4=0.129 6,
P(A1)=C×0.4×(1-0.4)3=0.345 6,
P(A2)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)
=0.129 6+0.345 6=0.475 2,
P(A2)=1-P(A2)=1-0.475 2=0.524 8.
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