2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库65.doc

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第5讲 独立性、二项分布及其应用
一、填空题
1．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．
答案
2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是________．
解析 设A为“第一次失败”，B为“第二次成功”，
则P(A)＝，P(B|A)＝，
∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.
答案
3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________．
解析　设事件A发生的概率为p，则Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4.
答案　[0.4,1]
4．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则p1和p2的大小关系是________．
解析　p1＝1－10＝1－10＝1－5，
p2＝1－5＝1－5，则p1个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为
C3·2＝C5＝C5＝.
答案　
6．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
解析　设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽，又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
答案　0.72
7．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率为和，且各次射击相互独立．按甲、乙、甲……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是________．
解析 停止射击时甲射击了两次，分两种情况：①甲未中、乙未中、甲命中的概率是×＝；
②甲未中、乙未中、甲未中、乙命中的概率是×＝，故甲射击两次的概率为：＋＝.
答案
8.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．
解析　设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，
则P(T)＝P(R)＝1－×＝，
所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()P()＝.
答案　
9．将一枚硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
解析　由题意知，正面可以出现6次，5次，4次，所求概率
P＝C6＋C6＋C6＝＝.
答案　
10．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
解析　记“该选手回答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，且P(Ai)＝0.8.选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，
∴所求事件概率P＝P(2·A3·A4)＝P(2)·P(A3)·P(A4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128.
答案　0.128
二、解答题
11．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
解　设“5次预报中恰有2次准确”为事件A，“5次预报中至少有2次准确”为事件B，“5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C.
(1)P(A)＝C23＝10××≈0.05；
(2)P(B)＝1－C05－C×4≈0.99；
(3)P(C)＝C×3×≈0.02.
12．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解　记A表示事件：“该地的1位车主购买甲种保险”；
B表示事件：“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；
C表示事件：“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；
D表示事件：“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”；
E表示事件：“该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买”，则
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B.
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
P(E)＝C×0.2×0.82＝0.384.
13．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
(1)求该公司决定对该项目投资的概率；
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
解　(1)该公司决定对该项目投资的概率为
P＝C2＋C3＝.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：

“同意”票张数
“中立”票张数
“反对”票张数
事件A
0
0
3
事件B
1
0
2
事件C
1
1
1
事件D
0
1
2
P(A)＝C3＝，
P(B)＝C3＝，
P(C)＝CC3＝，
P(D)＝C3＝.∵A、B、C、D互斥，
∴P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝.
14．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
解 (1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用．
则D＝A＋BC.
P(A)＝0.5×0.5＝0.25，
P(B)＝C×0.5×0.5＝0.5，
P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)
＝P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.
(2)记A0表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；
A1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；
A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用．
A2＝A0＋A1，
P(A0)＝(1－0.4)4＝0.129 6，
P(A1)＝C×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，
P(A2)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)
＝0.129 6＋0.345 6＝0.475 2，
P(A2)＝1－P(A2)＝1－0.475 2＝0.524 8.

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