2015届高考理科数学第二专题整合检测题13.doc

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第一部分　专题整合突破
专题一 函数与导数、不等式
第1讲　函数图象与性质及函数与方程

一、选择题
1．(2014·北京朝阳期末考试)函数f(x)＝＋的定义域为 (　　)．
A．[0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0,1)∪(1，＋∞) D．[0,1)
解析　由题意知
∴f(x)的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．
答案　C
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝ (　　)．
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析　因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案　C
3．(2014·天津卷)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为 (　　)．
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析　由x2－4>0，得x<－2或x>2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，又y＝x2－4的减区间为(－∞，0)，∴函数f(x)＝log(x2－4)的增区间为(－∞，－2)，故选D.
答案　D
4．(2014·济南模拟)函数f(x)＝(x－1)ln|x|的图象可能为 (　　)．

解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除B.当x∈(0,1)时，x－1＜0，ln x＜0，所以(x－1)ln x＞0，可排除D；当x∈(1，＋∞)时，x－1＞0，ln x＞0，所以(x－1)ln x＞0，可排除C.故只有A项满足，选A.
答案　A
5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 (　　)．
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
解析　当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)≥ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故选D.
答案　D
二、填空题
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2 a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________．
解析　∵f(x)在R上是偶函数，
∴f＝f(－log2a)＝f(log2a)，
由题设，得2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴|log2a|≤1，解之得≤a≤2.
答案　
7．(2014·广州测试)已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为____________．
解析　若a＝0，则f(x)＝2x－3.
f(x)＝0⇒x＝∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.
下面就a≠0分两种情况讨论：
(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得≤a≤.
(2)当f(－1)·f(1)＞0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是
解得a＞.综上，实数a的取值范围为.
答案　
8．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；
④f(2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________．
解析　令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2,0]上也只有一个零点，由f(x＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2,4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2 014)＝0，④正确．
答案　①②④
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2.
(1)求函数g(x)的值域；
(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．
解　(1)g(x)＝＋2＝|x|＋2，
因为|x|≥0，所以0＜|x|≤1，
即2＜g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3]．
(2)由f(x)－g(x)＝0，得2x－－2＝0，
当x≤0时，显然不满足方程，
当x＞0时，由2x－－2＝0，
整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，
故2x＝1±，因为2x＞0，
所以2x＝1＋，
即x＝log2(1＋)．
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
解　(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，
∴b＝a＋1，
∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.
∵f(x)≥0恒成立，
∴
即
∴a＝1，从而b＝2，
∴f(x)＝x2＋2x＋1，
∴F(x)＝
(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，
∴≤－2或≥2，
解得k≤－2或k≥6.
所以k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
11．(2014·绵阳模拟)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
解　(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(x)＝f(－x)，
所以log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx，
所以log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，所以k＝－.
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，即方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．
令t＝2x＞0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．
①当a＝1时，则t＝－不合题意；
②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝或－3.
若a＝，则t＝－2，不合题意；若a＝－3，则t＝；
③若方程有一个正根与一个负根，即＜0，
解得a＞1.
综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．
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