高一数学下册巩固与练习题27.doc

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巩固
1．已知cos2α＝，则sin2α＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.cos2α＝1－2sin2α，∴＝1－2sin2α，
∴sin2α＝，故选D.
2.·等于(　　)
A．tanα B．tan2α
C．1 D.
解析：选B.原式＝·＝＝tan2α.
3．已知α，β，γ∈(0，)，且sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则α－β的值等于(　　)
A. B．－
C．± D．±
解析：选B.sinβ－sinα＝sinγ＞0，cosα－cosβ＝cosγ＞0，则(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1，且β＞α，即cos(α－β)＝(0＜α＜β＜)，则α－β＝－，故选B.
4．定义运算ab＝ab2＋a2b，则sin15°cos15°的值是________．
解析：依题意，可知
sin15°cos15°＝sin15°cos215°＋sin215°cos15°
＝sin30°sin(15°＋45°)＝.
答案：
5．(原创题)已知sinθ＝，且cosθ－sinθ＋1<0，则sin2θ＝________.
解析：∵sinθ＝，cosθ－sinθ＋1<0，即cosθ<－，
∴cosθ＝－.∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－.
答案：－
6．化简：.
解：原式＝
＝
＝＝＝cos2x.
练习

1．若α∈(，π)，且sinα＝，则sin(α＋)＋cos(α＋)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D.∵sinα＝，<α<π，
∴cosα＝－，
∴sin(α＋)＋cos(α＋)＝sin(α＋)
＝cosα＝－.
2．化简的结果是(　　)
A．－cos1 B．cos1
C.cos1 D．－cos1
解析：选C.＝＝cos1.
3.已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x，y为锐角，则sin(x＋y)的值是(　　)
A．1 B．－1
C. D.
解析：选A.∵sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，两式相加得：sinx＋cosx＝siny＋cosy，
∴sin2x＝sin2y.又∵x、y均为锐角，
∴2x＝π－2y，∴x＋y＝，∴sin(x＋y)＝1.
4．若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：选A.由tanα＋＝⇒(tanα－3)(3tanα－1)＝0得tanα＝3或tanα＝，由α∈(，)得tanα>1，故tanα＝舍去，而sin(2α＋)＝×＝×，将分式分子与分母同除以cos2α得sin(2α＋)＝×＝－.
5．已知cosA＋sinA＝－，A为第四象限角，则tanA等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.cosA＋sinA＝－<0，
∵cosA>0，sinA<0，∴|sinA|>cosA，
∴|tanA|>1.又∵tanA<0，故选C.
6．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.∵sin(－α)＝，
∴cos(－2α)＝cos[2(－α)]
＝1－2sin2(－α)＝1－2×()2＝，
∴cos(π＋2α)＝cos[π－(－2α)]
＝－cos(－2α)＝－.
7．化简2sin2x·sinx＋cos3x的结果为________．
解析：原式＝2sin2xsinx＋cos(2x＋x)
＝2sin2x·sinx＋cos2xcosx－sin2x·sinx
＝cos2x·cosx＋sin2x·sinx
＝cos(2x－x)＝cosx.
答案：cosx
8．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
解析：∵＝＝3，∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝－tan[(α－β)＋α]
＝－＝.
答案：
9．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________．
解析：cos(＋A)＝coscosA－sinsinA
＝(cosA－sinA)＝，
∴cosA－sinA＝>0.①
∴0<A<，∴0<2A<，
①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.
∴cos2A＝＝.
答案：
10.已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解：(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，
得sinβ＝，tanβ＝2，
所以tan(α＋β)＝＝1.
(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，
所以sinα＝，cosα＝－，
f(x)＝－sinx－cosx＋cosx－sinx
＝－sinx，
所以f(x)的最大值为.
11．已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos(α＋)的值．
解：(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ
＝cosβ＋sinβ＝.
∴cosβ＋sinβ＝.
∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.
法二：sin2β＝cos(－2β)
＝2cos2(β－)－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<.
∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，
∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝－×＋×＝.

12．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连结BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？
解：设∠PAB=α，连结PB.
∵AB是直径，∴∠APB=90°.
又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα.
∵PC是切线，∴∠BPC=α.又PC=1，
∴S四边形ABCP=S△APB+S△BPC

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