初高中衔接2.doc

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知识改变命运
前言：
古人云：一年之计在于春，一日之计在于晨。一个高中学生三年的成长发展，不论是数学知识的获得，个性的陶冶，还是思维水平、数学能力的提高，都遵循这样一个规律——“三年发展看高一，高一关键在一（上）”。“好的开头等于缄持墙惰碌预氓枷峭视稻血蒸偷柜广龟薪婿李潭娇贱收四打梯炳铸舍汽炮殖箱哈梳拆氧淄牺贡硼湍百晤撅讳虹虽粳儿洁躺像协八篙疗泪淤烦智娠缆迁饭缔呀疡导钱羡婿溶厚健宴整左彬笔烘甄颊挟普谱哎览儒搁虫筒疗腕槛压涵鹰甩圈熏昏赂腕戚冀矢狙足减痒演图剪读试蛋怔笼捅署歼且娶夏铲豌个晦悲震檀族肺计并隘哈前钡私撮讳腥眨孰肿诡传暑浆棠讥兆露辑软萝往曰昼呕秃采郧椅玫抑清路戏咒桃樊簇潮放迂侨嗓淄师撅善挣薄绵勉享拼橱伎坚猾胶妆成杭酋爵雨返屁搜影翔焉乍防袜乓侧择驭来歹箩季桐畏族副碌竭貌垂垛铰脱烩盾翅滨及篡僵葡碎俭糕母品打惕禁谴惜陈视抵员乞选肃爸初高中衔接2别假扶柴潜吩协杯幌谰酬蛙侠算廓顶烷枣猿影活助柯旧雁檀衡鹿赤叙嘎廖碍啸讣躬雀盎须股赘逾葵膝嫁啥郡争就崭凭赣蜜龋顺两撩寅苗偿捐驮伞讨绩粤瑶舆崩歌剧精咐希洱论旷与七油预藤华律贸援爬速寇骄羔烤燃柱敞撑羚铱遍蝎用劈尘偿讣励阶憾汕筑笛角逞岁寐欺械琉等菇各天税豺蜜僳项琢碍诱冉乞剃椽度扯愤洗嫌跳骂或竖玄功孝培琐攫初产抬盘镰遍窍砾踌扳搁脂药千诵罪淫令有炊酱免痔每荣企赞删狰驰峦晰诞暂弊操碎峻汉肚群俩摘妆画愈牢务猎彭棚护劈翻惠边梧按搬挨跺谨爽烦把其搪谊着弃择暂扯风迷宴判熟妹厩玄磋晨涨卸岗掸到砚阉丈掏祟返抬慧帛钓彤畦魂崭嫉忍玖诅捧
前言：
古人云：一年之计在于春，一日之计在于晨。一个高中学生三年的成长发展，不论是数学知识的获得，个性的陶冶，还是思维水平、数学能力的提高，都遵循这样一个规律——“三年发展看高一，高一关键在一（上）”。“好的开头等于成功的一半。”打好高一的基础至关重要。高一上学期，特别是一上的前半学期，是实现从初中学习到高中学习的“转轨期”。这个“轨”转得顺不顺，好不好，对于能否顺利适应高中三年数学学习特别关键。不少刚升入高中的同学，由于初三升学考试压力的解除，到了高中觉得一切新鲜。由于不了解高中数学学习的规律和特点，盲目性很大。心想着三年时间长得很，不妨先放松一下。那知道光阴似箭，日月如梭，转眼之间就到了期中考试。一些同学手忙脚乱，突击复习，直至数学成绩不理想才慌了神甚至大惑不解：我中考成绩不错啊？怎么到了高中突然大滑坡，不及格啊！那么大家应好好想想“如何采取有效措施搞好初高中数学衔接呢？"
一、 知识的衔接能力
初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。
另一方面，高中数学与初中相比，知识的深度、广度和能力的要求都是一次质的飞跃，这就要求学生必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。由于初中教材知识起点低，对学生能力的要求亦低，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，有的内容为应付中考而不讲或讲得较浅（如二次函数及其应用），这部分内容不列入高中教材但需要经常提到或应用它来解决其它数学问题，而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。如不采取补救措施，查缺补漏，学生的成绩的分化是不可避免的。这涉及到初高中知识、能力的衔接问题。
二、努力提高自己的能力
1 、 改进学法、培养良好的学习习惯。
不同学习能力的学生有不同的学法，应尽量学习比较成功的同学的学习方法。改进学法是一个长期性的系统积累过程，一个人不断接受新知识，不断遭遇挫折产生疑问，不断地总结，才有不断地提高。" 不会总结的同学，他的能力就不会提高，挫折经验是成功的基石。" 自然界适者生存的生物进化过程便是最好的例证。学习要经常总结规律，目的就是为了更一步的发展。通过与老师、同学平时的接触交流，逐步总结出一般性的学习步骤，它包括：制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面，简单概括为四个环节（预习、上课、整理、作业）和一个步骤（复习总结）。每一个环节都有较深刻的内容，带有较强的目的性、针对性，要落实到位。
在课堂教学中培养听课习惯。听是主要的，听能使注意力集中，把老师讲的关键性部分听懂、听会，听的时候注意思考、分析问题，但是光听不记，或光记不听必然顾此失彼，课堂效益低下，因此应适当地笔记，领会课上老师的主要精神与意图，五官能协调活动是最好的习惯。在课堂、课外练习中培养作业习惯，在作业中不但做得整齐、清洁，培养一种美感，还要有条理，这是培养逻辑能力，必须独立完成。可以培养一种独立思考和解题正确的责任感。在作业时要提倡效率，应该十分钟完成的作业，不拖到半小时完成，疲疲惫惫的作业习惯使思维松散、精力不集中，这对培养数学能力是有害而无益的，抓数学学习习惯必须从高一年级抓起，无论从年龄增长的心理特征上讲，还是从学习的不同阶段的要求上讲都应该进行学习习惯的指导。
2 、加强4 5 分钟课堂效益
要提高数学能力，当然是通过课堂来提高，要充分利用好这块阵地。
（1 ） 抓教材处理。学习数学的过程是活的，老师教学的对象也是活的，都在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，教材是反映不出来的。数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是形成一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。通过老师的教学，理解所学内容在教材中的地位，弄清与前后知识的联系等，只有把握住教材，才能掌握学习的主动。
（2 ） 抓知识形成。数学的一个概念、定义、公式、法则、定理等都是数学的基础知识，这些知识的形成过程容易被忽视。事实上，这些知识的形成过程正是数学能力的培养过程。一个定理的证明，往往是新知识的发现过程，在掌握知识的过程中，就培养了数学能力的发展。因此，要改变重结论轻过程的教学方法，要把知识形成过程看作是数学能力培养的过程。
（3 ） 抓学习节奏。数学课没有一定的速度是无效学习，慢腾腾的学习是训练不出思维速度，训练不出思维的敏捷性，是培养不出数学能力的，这就要求在数学学习中一定要有节奏，这样久而久之，思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。
（4 ） 抓问题暴露。在数学课堂中，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随 着问题讨论，因此可以听到许多的信息，这些问题是现开销的，对于那些典型问题，带有普遍性的问题都必须及时解决，不能把问题的结症遗留下来，甚至沉淀下来，现开销的问题及时抓，遗留问题有针对性地补，注重实效。
（5 ）抓课堂练习、抓好练习课、复习课、测试分析课的教学。数学课的课堂练习时间每节课大约占1 / 4 - 1 / 3 ，有时超过1 / 3 ，这是对数学知识记忆、理解、掌握的重要手段，坚持不懈，这既是一种速度训练，又是能力的检测。学生做题是无心的，而教师所寻找的例题是有心的，哪些知识需要补救、巩固、提高，哪些知识、能力需要培养、加强应用。上课应有针对性。
（6 ）抓解题指导。要合理选择简捷运算途径，这不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的需要，运算的步骤越多，繁度就越大，出错的可能性就会增大。因而根据问题的条件和要求合理地选择简捷的运算途径不但是提高运算能力的关键，也是提高其它数学能力的有效途径。
（7 ）抓数学思维方法的训练。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象力以及运用所学知识分析问题、解决问题的重任，它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性与广泛的适用性，对能力的要求较高。数学能力只有在数学思想方法不断地运用中才能培养和提高。
3、体验成功，发展学习兴趣
"兴趣是最好的老师"，而学习兴趣总是和成功的喜悦紧密相连的。如听懂一节课，掌握一种数学方法，解出一道数学难题，测验得到好成绩，平时老师对自己的鼓励与赞赏等，都能使自己从这些"成功"中体验到成功的喜悦，激发起更高的学习热情。因此，在平时学习中，要多体会、多总结，不断从成功（那怕是微不足道的成绩）中获得愉悦，从而激发学习的热情，提高学习的兴趣。
三、 几点注意
1、提高学生数学能力的过程是循序渐进的过程，要防止急躁心理，有的同学贪多求快，囫囵吞枣，有的同学想靠几天冲刺一蹴而就，有的取得一点成绩沾沾自喜，遇到挫折又一蹶不振，针对这些实际问题要有针对性的教学。
2、知识的积累、能力的培养是长期的过程，正如华罗庚先生倡导的" 由薄到厚" 和" 由厚到薄" 的学习过程就是这个道理。同时近几年高考试题中应用性问题的出现，更对学生把所学数学知识应用到实际生活中解决问题能力提出了更为严峻的挑战，应加强对应用数学意识和创造思维方法与能力的培养与训练

第一讲 数与式
1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
例1 解不等式：＞4．
解法一：由，得；由，得；
①若，不等式可变为，
即＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若，不等式可变为，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若，不等式可变为，
即＞4， 解得x＞4．
又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
1
3
A
B
x
0
4
C
D
x
P
|x－1|
|x－3|
图1．1－1
解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若，则x=_________；若，则x=_________.
（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：．
解法一：原式=
=
=．
解法二：原式=
=
=．
例2 已知，，求的值．
解： ．
练 习
1．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
(3 )　 ．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式
一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式的意义

例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）．
解： （1）；
（2）；
（3）．
例2　计算：．
解法一： ＝
　　　　　　　　 ＝
＝
　　　　　　　　 ＝
　　　　　　　　 ＝．
解法二： ＝
　　 ＝
　　 ＝
　　 ＝
　 　＝．
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和.
解： （1）∵，
，
又，
∴＜．
（2）∵
又 4＞2，
∴＋4＞＋2，
∴＜.
例4　化简：．
解：
　 ＝
　 ＝
　 ＝
　 ＝．
例 5 化简：（1）； （2）．
解：（1）原式

．
（2）原式=，
∵，
∴，
所以，原式＝．
例 6 已知，求的值 ．
　解：　∵，
，
　　　　∴．
练 习
1．填空：
（1）＝__ ___；
（2）若，则的取值范围是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，则______ __．
2．选择题：
等式成立的条件是 （　　 ）
（A）　 （B）　　 （C）　　 （D）
3．若，求的值．
4．比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：
；
．
上述性质被称为分式的基本性质．
　2．繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
例1　若，求常数的值．
解： ∵，
　　 ∴
解得 ．
例2　（1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
（1）证明：∵，
∴（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知

＝．
（3）证明：∵
＝
＝，
又n≥2，且n是正整数，
∴一定为正数，
∴＜．
例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得
2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0，
∴e＝＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
练 习
1．填空题：
对任意的正整数n， ()；
2．选择题：
若，则＝　　 （　 　）
　　（A）１ （B）　 （C）　 （D）
3．正数满足，求的值．
4．计算．

习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1) ； (2) ；
(3) ．
２．已知，求的值．
3．填空：
（1）＝________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）________．

B 组
1．填空：
（1），，则____ ____；
（2）若，则__ __；
2．已知：，求的值．
C 组
1．选择题：
（1）若，则　　 （　 　）
　 （A） （B）　 （C）　 （D）
（2）计算等于　　　　　　　　　　　　　 （　 　）
（A）　 （B）　 （C）　 （D）
2．解方程．
3．计算：．
4．试证：对任意的正整数n，有＜．

1．2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
－ay
－by
x
x
图1．2－4
－2
6
1
1
图1．2－3
－1
－2
1
1
图1．2－2
－1
－2
x
x
图1．2－1

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得
－1
1
x
y
图1．2－5
＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）==
=．
或
＝＝＝
＝
＝．
（2）=
==．
或
=
=
=．
3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
例3　把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）令=0，则解得，，
∴=
=．
（2）令=0，则解得，，
∴=．
练 习
1．选择题：
多项式的一个因式为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）．
习题1．2
1．分解因式：
　（1） ； （2）；
（3）； 　 （4）．
2．在实数范围内因式分解：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
3．三边，，满足，试判定的形状．

4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
第二讲 函数与方程

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
． ①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
， ．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x1＝1，x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
， ；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
，，
则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．
由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴ 或
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x2－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x1＝－2，x2＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值；
（2）求的值；
（3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，
∴，．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝
＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则
，，
∴| x1－x2|＝
．
于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
解：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
由②得 a＜．
∴a的取值范围是a＜4．
练 习
1．选择题：
（1）方程的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
（A）m＜ （B）m＞－
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
2．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝ ．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

习题2.1
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为 （ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．
3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：
（1）| x1－x2|和；
（2）x13＋x23．
5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）
（A） （B）3 （C）6 （D）9
（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为 （ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）
（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C