人大版微积分导数的基本公式省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

微积分微微 积积 分分陈颖陈颖闽南师范大学闽南师范大学数学与统计学院数学与统计学院第1页微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章 中值定理,导数应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第2页微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版社高等教育出版社第3页微积分第三章第三章 导数与微分导数与微分引例引例导数概念导数概念导数基本公式与运算法则导数基本公式与运算法则高阶导数高阶导数微分微分第4页微积分3-3 3-3 导数基本公式导数基本公式第5页微积分初等函数微分法初等函数微分法 求导数方法称为微分法。用定义只能求出一求导数方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单函数导数（常函数、幂函数、正、余些较简单函数导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂函数则往往很困难。本节我们就来建立求导杂函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数基本公式和基本法则，借助于这些公式和法数基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见函数则就能比较方便地求出常见函数初等函数初等函数导数，从而是初等函数求导问题系统化，简单导数，从而是初等函数求导问题系统化，简单化。化。第6页微积分第7页微积分第8页微积分（2 2）算比值：）算比值：（3）取极限：）取极限：用类似方法，可求得余弦函数用类似方法，可求得余弦函数y=cosx导数为：导数为：第9页微积分第10页微积分第11页微积分（n为正整数）导数为正整数）导数.（n为正整数）为正整数）第12页微积分解解第13页微积分解解第14页微积分解解第15页微积分解解第16页微积分一、和、差、积、商求导法则一、和、差、积、商求导法则定理定理第17页微积分证证(1)(1)略略.证（证（2 2）第18页微积分第19页微积分证证(3)(3)第20页微积分第21页微积分注注（1）即是和、差导数等于导数和、差）即是和、差导数等于导数和、差（2）即是乘积导数等于第一个因子导数）即是乘积导数等于第一个因子导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子导数第二个因子导数（3）即是商导数等于分子导数乘以分母）即是商导数等于分子导数乘以分母 减去分子乘以分母导数，再除以分母减去分子乘以分母导数，再除以分母 平方平方 （1）可推广到任意有限个可导函数情形）可推广到任意有限个可导函数情形 （2）也可推广到任意有限个函数情形）也可推广到任意有限个函数情形第22页微积分 作为（作为（2）特殊情况）特殊情况即常数因子能够提到导数符号外面即常数因子能够提到导数符号外面第23页微积分即线性组合导数等于导数线性组合即线性组合导数等于导数线性组合说明求导是一线性运算说明求导是一线性运算作为（作为（3）一个特殊情况，）一个特殊情况，二、例题分析二、例题分析例例1 1解解第24页微积分例例2 2解解例例3 3解解第25页微积分同理可得同理可得例例4 4解解同理可得同理可得第26页微积分例例5 5解解第27页微积分第28页微积分三、反函数导数三、反函数导数定理定理即即 反函数导数等于直接函数导数倒数反函数导数等于直接函数导数倒数.第29页微积分证实证实第30页微积分第31页微积分或者：或者：定理定理即即 反函数导数等于直接函数导数倒数反函数导数等于直接函数导数倒数.第32页微积分例例6 6解解同理可得同理可得第33页微积分例例7 7解解尤其地尤其地第34页微积分四、复合函数求导法则四、复合函数求导法则 前面我们已经会求简单函数前面我们已经会求简单函数基本初等函数经基本初等函数经有限次四则运算结果有限次四则运算结果导数，不过像导数，不过像等函数（复合函数）是否可导，可导话，怎样求等函数（复合函数）是否可导，可导话，怎样求它们导数它们导数先看一个例子先看一个例子例例8 第35页微积分这里我们是先展开，再求导，若像这里我们是先展开，再求导，若像求导数，展开就不是方法，再像求导数，展开就不是方法，再像求导数，根本无法展开，又该怎么办？求导数，根本无法展开，又该怎么办？仔细分析一下，这三个函数含有一样复合结构仔细分析一下，这三个函数含有一样复合结构我们从复合函数角度来分析一下上例结果。我们从复合函数角度来分析一下上例结果。第36页微积分再如再如注意到注意到由以上两例可见：由由以上两例可见：由复合复合而成函数而成函数导数导数恰好等于恰好等于对中间变量对中间变量导数导数与中间变量与中间变量对自变量对自变量导数导数乘积乘积这就是这就是链式法则链式法则第37页微积分定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)第38页微积分证证上面证法有没有问题？上面证法有没有问题？第39页微积分证证第40页微积分注注1.链式法则链式法则“由外向里，逐层求导由外向里，逐层求导”2.注意中间变量注意中间变量推广推广例例9 9解解第41页微积分例例1010解解例例5 5解解第42页微积分例例1111解解例例1212解解第43页微积分例例13解解同理可得同理可得例例14 求幂函数导数求幂函数导数第44页微积分例例1515解解第45页微积分注注1.基本初等函数导数公式和上述求导法则基本初等函数导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算基础，必须熟练掌握是初等函数求导运算基础，必须熟练掌握2.复合函数求导链式法则是一元函数微分复合函数求导链式法则是一元函数微分学理论基础和精神支柱，要深刻了解学理论基础和精神支柱，要深刻了解，熟，熟练应用练应用注意不要漏层注意不要漏层3.对于分段函数求导问题：在定义域各个部对于分段函数求导问题：在定义域各个部分区间内部，仍按初等函数求导法则处理，分区间内部，仍按初等函数求导法则处理，在分界点处须用导数定义仔细分析，即分别在分界点处须用导数定义仔细分析，即分别求出在各分界点处左、右导数，然后确定导求出在各分界点处左、右导数，然后确定导数是否存在。数是否存在。第46页微积分例例16解解第47页微积分第48页微积分五、初等函数求导问题五、初等函数求导问题1.常数和基本初等函数导数公式常数和基本初等函数导数公式第49页微积分2.函数和、差、积、商求导法则函数和、差、积、商求导法则设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)第50页微积分3.复合函数求导法则复合函数求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全处利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全处理理.注意注意:初等函数导数仍为初等函数初等函数导数仍为初等函数.4.双曲函数与反双曲函数导数双曲函数与反双曲函数导数第51页微积分即即第52页微积分五、小结五、小结注意注意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数求导法则反函数求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数求导法则复合函数求导法则（注意函数复合过程（注意函数复合过程,合理分解正确使用链导合理分解正确使用链导法）法）;已能求导函数已能求导函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常数或常数与基本初等函数和、差、积、商与基本初等函数和、差、积、商.关键关键:正确分解初等函数复合结构正确分解初等函数复合结构.第53页微积分思索题思索题第54页微积分思索题解答思索题解答正确选择是正确选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处可导，处可导，第55页