高等数学微积分导数概念省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第三章第三章 导数与微分导数与微分第第1页页第三章第三章 导数与微分导数与微分p第一节第一节 导数概念导数概念p第二节第二节 求导法则求导法则p第三节第三节 反函数、复合函数、隐函数导数反函数、复合函数、隐函数导数p第四节第四节 导数公式导数公式p第五节第五节 高阶导数高阶导数p第六节第六节 微分微分p第七节第七节 导数在经济上简单应用导数在经济上简单应用第第2页页1.了解导数概念及可导性与连续性之间关系，了解导数概念及可导性与连续性之间关系，2.掌握基本初等函数导数公式、导数四则运算掌握基本初等函数导数公式、导数四则运算导数，会求反函数与隐函数导数导数，会求反函数与隐函数导数.法则及复合函数求导法则，会求分段函数法则及复合函数求导法则，会求分段函数了解导数几何意义与经济意义（含边际与弹性了解导数几何意义与经济意义（含边际与弹性概念），会求平面曲线切线方程和法线方程概念），会求平面曲线切线方程和法线方程.3.了解高阶导数概念，会求简单函数高阶导数了解高阶导数概念，会求简单函数高阶导数.4.了解微分概念，导数与微分之间关系以及了解微分概念，导数与微分之间关系以及一阶微分形式不变性，会求函数微分一阶微分形式不变性，会求函数微分.本章基本要求本章基本要求第第3页页本章重点、难点本章重点、难点重点：导数与微分计算重点：导数与微分计算.难点：分段函数分界点处可导性难点：分段函数分界点处可导性讨论、隐函数求导讨论、隐函数求导.第第4页页第一节第一节 导数概念导数概念一、引出导数概念例子一、引出导数概念例子1、变速直线运动速度、变速直线运动速度已知已知求求解解(1)(2)(3)第第5页页2、平面曲线切线斜率、平面曲线切线斜率切线切线割线割线第第6页页2、平面曲线切线斜率、平面曲线切线斜率解解第第7页页二、导数定义二、导数定义定义定义3.1 设函数设函数有定义有定义,在点在点某邻域内某邻域内对自变量在点对自变量在点 处任一改变量处任一改变量函数对应改变量为函数对应改变量为假如极限假如极限存在存在,则称函数则称函数在点在点点点处可导处可导(或导数存在或导数存在).并称此极限值为并称此极限值为可导点可导点,为为在点在点处导数处导数(或微商或微商).第第8页页注注(1)记号记号(2)、(3)求导三步曲求导三步曲:第第9页页例例1 求函数求函数 y=x2 在点在点 x=3 处导数处导数.解解第第10页页讨论导数另一定义形式讨论导数另一定义形式第第11页页定义定义3.1设函数设函数在点在点某邻域内有定义某邻域内有定义,假如极限假如极限存在存在,(第二定义第二定义)则称函数则称函数在点在点点点可导可导(或导数存在或导数存在).并称此极限值为并称此极限值为可导点可导点,为为在点在点导数导数(或微商或微商).第一个定义做证实题方便第一个定义做证实题方便,第二个定义第二个定义讨论分段函数分界点处导数方便讨论分段函数分界点处导数方便.第第12页页三、导数几何意义三、导数几何意义几何意义是几何意义是:处切线方程为处切线方程为:曲线曲线在点在点处切线斜率处切线斜率.曲线曲线在点在点例例2 求曲线求曲线 y=x2 在点在点(3,9)处切线方程处切线方程.解解所以所求切线方程为所以所求切线方程为即即函数函数在点在点导数导数第第13页页处法线方程为处法线方程为:曲线曲线在点在点例例2 求曲线求曲线 y=x2 在点在点(3,9)处法线方程处法线方程.解解所以所求法线方程为所以所求法线方程为即即第第14页页四、左导数和右导数四、左导数和右导数定义定义3.2假如极限假如极限值为值为存在存在,在点在点处右导数处右导数,记作记作则称此极限则称此极限假如极限假如极限值为值为存在存在,在点在点处左导数处左导数,记作记作则称此极限则称此极限第第15页页假如极限假如极限值为值为存在存在,在点在点处右导数处右导数,记作记作则称此极限则称此极限假如极限假如极限值为值为存在存在,在点在点处左导数处左导数,记作记作则称此极限则称此极限定义定义3.2注注 第第16页页例例 3 讨论函数讨论函数在在解解故故不存在不存在.处可导性处可导性.第第17页页分段函数求分界点处导数时注意分段函数求分界点处导数时注意(1)用定义用定义(2)普通分左右导数普通分左右导数(3)假如分界点左右两边函数表示式假如分界点左右两边函数表示式一样一样,则不分左右导数则不分左右导数.(4)求左右导数时求左右导数时,函数值固定不变函数值固定不变.第第18页页五、可导与连续关系五、可导与连续关系所以所以由由 可得可得假如函数假如函数 y=f(x)在点在点处可导处可导,则它在点则它在点 x0 处一定连续处一定连续.因为函数因为函数 y=f(x)在点在点 x0 处可导处可导,故连续故连续.定理定理3.1证证第第19页页1.1.可导必连续可导必连续2.2.连续不一定可导连续不一定可导3.3.不连续一定不可导不连续一定不可导4.4.不可导不一定不连续不可导不一定不连续第第20页页例例4 讨论函数讨论函数在点在点 x=0 及及 x=1处连续性与可导性处连续性与可导性.解解 在点在点 x=0 处连续性处连续性故故 不连续不连续,从而不可导从而不可导.三者不等三者不等第第21页页在点在点 x=1 处可导性处可导性故故 函数可导函数可导,从而连续从而连续.第第22页页例例5 已知已知求求使得函数使得函数在点在点可导可导.解解所以所以第第23页页六、导函数六、导函数定义定义称为函数称为函数 y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内对内对 x 假如函数假如函数在某区间在某区间(a,b)内每一内每一点点 x 处都可导，处都可导，则称则称 f(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导.导函数导函数,简称为导数简称为导数.第第24页页(1)记号记号:(2)(3)求导函数三步曲求导函数三步曲:、第第25页页例例6求求导函数导函数.解解第第26页页例例7求求导函数导函数.解解第第27页页例例8求求导函数导函数.解解尤其地尤其地第第28页页例例9求求导函数导函数.解解注注第第29页页求导公式求导公式第第30页页作业题作业题习题三习题三(A)1、2、3、4、5、6、7、8.第第31页页