1、导数概念导数概念 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量在许多实际问题中，需要从数量上研究变量改变改变速度速度。如物体运动速度，电流强度，线密度，。如物体运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，全部这些在比热，化学反应速度及生物繁殖率等，全部这些在数学上都可归结为函数数学上都可归结为函数改变率改变率问题，即导数。问题，即导数。本章将经过对实际问题分析，引出微分学中本章将经过对实际问题分析，引出微分学中两个最主要基本概念两个最主要基本概念导数与微分，然后再建导数与微分，然后再建立求导数与微分运算公式和法则，从而处理相关立求导数与微分运算公式和法则，从而处理相关改变率计算问题
2、。改变率计算问题。第第1页页 导数和微分是继连续性之后，函数研究深入导数和微分是继连续性之后，函数研究深入深化。深化。导数导数反应是反应是因变量相对于自变量改变快慢程因变量相对于自变量改变快慢程度和增减情况度和增减情况，而，而微分微分则是指明则是指明当自变量有微小改当自变量有微小改变时，函数大致上改变多少变时，函数大致上改变多少。重点重点导数与微分定义及几何解释导数与微分定义及几何解释导数与微分基本公式导数与微分基本公式四则运算法则四则运算法则复合函数求导链式法则复合函数求导链式法则高阶导数高阶导数隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导难点难点导数实质，用定义求导，链式法则导数实质，用定义求
3、导，链式法则第第2页页一、问题提出一、问题提出1.自由落体运动瞬时速度问题自由落体运动瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得第第3页页 上述求瞬时速度方法对普通变速直线运上述求瞬时速度方法对普通变速直线运动也一样适用。设物体作变速直线运动，动也一样适用。设物体作变速直线运动，运动旅程为运动旅程为s=s(t)，则物体在时刻，则物体在时刻 t 0 瞬时瞬时速度定义为速度定义为速度反应了旅程对时间改变快慢程度速度反应了旅程对时间改变快慢程度 第第4页页2.切线问题切线问题割线极限位置割线极限位置切线位置切线位置播放播放第第5页页 假如割线假如割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT
4、,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处处切线切线.极限位置即极限位置即如图如图,某点处导数，即函数图像在该点切线斜率某点处导数，即函数图像在该点切线斜率第第6页页二、导数定义二、导数定义定义定义第第7页页即即其它形式其它形式第第8页页关于导数说明：关于导数说明：导数概念是概括了各种各样改变率而得出导数概念是概括了各种各样改变率而得出一个更普通、更抽象概念，它撇开了变量所代一个更普通、更抽象概念，它撇开了变量所代表特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画改变率表特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画改变率本质本质第第9页页第第10页页单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2.右导数右导数:第第11页页第
5、第12页页第第13页页三、由定义求导数（三步法）三、由定义求导数（三步法）步骤步骤:例例1 1解解第第14页页例例2 2解解第第15页页例例3 3解解更普通地更普通地比如比如,第第16页页例例4 4解解尤其地尤其地第第17页页例例5 5解解尤其地尤其地第第18页页例例6 6解解第第19页页四、导数几何意义与物理意义四、导数几何意义与物理意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为第第20页页法线法线（与切线垂直）（与切线垂直）方程为方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为第第21页页例例7 7解解 由导数几何意义由导数几何意义,得切线斜率为得切线斜
6、率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为第第22页页2.物理意义物理意义非均匀改变量瞬时改变率非均匀改变量瞬时改变率.变速直线运动变速直线运动:旅程对时间导数为物体瞬时旅程对时间导数为物体瞬时速度速度.交流电路交流电路:电量对时间导数为电流强度电量对时间导数为电流强度.非均匀物体非均匀物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)导数为物导数为物体线体线(面面,体体)密度密度.第第23页页五、可导与连续关系五、可导与连续关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证第第24页页注意注意:该定理逆定理不成立该定理逆定理不成立.连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0比如比如,第第25页页比如比如,01第第26页页比如比如,011/1/第第27页页第第28页页例例8 8解解第第29页页六、小结六、小结1.导数实质导数实质:增量比极限增量比极限;3.导数几何意义导数几何意义:切线斜率切线斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本方法求导数最基本方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.第第30页页
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
