1、第五节第五节 极限存在性定理极限存在性定理单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.例例1求数列求数列极限极限.解解(1)存在性存在性令令单调性单调性时时设设时时定理定理2.14第第1页页时时故对一切正整数故对一切正整数有有所以数列递增所以数列递增.有界性有界性时时时时设设时时故对一切正整数故对一切正整数有有,所以所以 数列有界数列有界.总而言之总而言之,数列极限存在数列极限存在.第第2页页(2)求值求值设设将将两边求极限两边求极限得得即即故故第第3页页例例2设设时有时有且且求求解解由由故故单调单调由由故故有界有界总而言之总而言之,数列极限存在数列极限存在.且且得得同理同理第第4页页由由设设两
2、边取极限两边取极限,得得:得得(舍去舍去)第第5页页例例2 设设,求求解解(1)求值求值假设假设则则即即故故因因第第6页页(2)存在性存在性对对要使要使只需只需故极限存在故极限存在.取取第第7页页求数列极限求数列极限:1.先按先按单调有界单调有界证极限存在性再按证极限存在性再按递推公式递推公式求求极限值极限值,本方法普通适合用于数列详细给出本方法普通适合用于数列详细给出2.先按先按递推公式递推公式求极限值再按求极限值再按准确性定义准确性定义验证验证给出情况给出情况.情况情况.极限存在性极限存在性,本方法普通适合用于数列通项公式本方法普通适合用于数列通项公式第第8页页假如数列假如数列满足以下条件
3、满足以下条件(1)从某项开始有从某项开始有(2)则则数列数列极限存在极限存在,而且而且由已知由已知,对对同时成立同时成立定理定理2.15证证第第9页页所以所以成立成立所以所以注注(1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理此定理称为两边夹法则或夹逼定理.(2)不等式两边极限必须存在且相等不等式两边极限必须存在且相等.(3)此定理对普通函数极限依然成立此定理对普通函数极限依然成立.此时此时第第10页页补充补充 (考研真题考研真题3分分)设对任意设对任意总有总有且且则则存在且等于零存在且等于零存在但不一定等于零存在但不一定等于零一定不存在一定不存在不一定存在不一定存在.答案答案 第第11页页例例3 求求解解因为因为且且所以所以原式原式第第12页页例例4求求解解因为因为且且所以所以原式原式第第13页页例例5求求解解因为因为且且所以所以原式原式第第14页页常见建立不等式方法常见建立不等式方法(1)分母变大分数值变小分母变大分数值变小,分母变小分母变小分数值变大分数值变大.(2)去掉小项和变小去掉小项和变小,小项变大和变大小项变大和变大.第第15页页作业题作业题2.习题二习题二(A)17、18.1.记住极限存在性定理记住极限存在性定理.第第16页页
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